Em cada caso a seguir, usando o critério adequado, estude quanto à convergência.
(a) sumn=1^infty 1n+raizn
(g) sumn=1^infty n3 n^4+2 n^3+5
(m) sumn=1^infty n+1raizn^3
® sum1 (-1)^n-1 cdot 2^nn!.
(b) sumn=1^infty(n+12 n)^n
(h) sumn=1^infty 2^nn!
© sumn=1^infty 1n!
(i) sumn=1^infty e^nn^2
(n) sumn=2^infty(-1)^n ln (n)n
(s) sum1 (-1)^n-1 cdot n!ln (n+1).
(d) sumn=1^infty(-1)^n 1 cdot 3 cdots(2 n-1)1 cdot 4 cdots(3 n-2)
(i) sumn=1^infty(-1)^n 5^nn!
(0) sumn=1^infty(raizn-1)^n
(t) sum2 (-1)^a(ln (n))^n.
(e) sumn=1^infty 3^n-4^n7^n
(k) sumn=1^infty[(34)^n+(52)^n]
(b) sum1 n^2 e^-n
(u) sum1 (-1)^n(2 n-1)!
(i) sumn=1^infty 1n^n
(i) sum 1raizn^5+1
(a) sumn >=q 1(3 n^2+25 n-3)
(v) sumn=1^infty sen^4(n)n^7
  • Resposta. divergem: (a), (i), (k), (m), (q), (s) e convergem; (b), ©, (d), (e), (f), (g), (b), (b), (l), (n), (o). §. (t), (t), (u), (v).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício! A gente precisa analisar se a série sumn=1^infty 1n+raizn converge ou diverge. A matéria que vamos usar aqui é sobre convergência de séries e vamos precisar usar o Critério da Comparação para resolver essa questão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Critério da Comparação. Ele serve para comparar a série que estamos analisando com outra série cujo comportamento a gente já conhece. Se conseguirmos encontrar uma série conhecida que seja maior ou menor que a nossa, podemos concluir sobre a convergência ou divergência da nossa série.

Passo 3

Vamos olhar para a nossa série: sumn=1^infty 1n+raizn. Para facilitar a comparação, vamos simplificar o denominador. Note que raizn cresce mais devagar que n, então n + raizn é aproximadamente igual a n para valores grandes de n. Isso nos sugere comparar com a série harmônica sumn=1^infty 1n.

Passo 4

Sabemos que a série harmônica sumn=1^infty 1n diverge. Agora, vamos ver se nossa série é menor ou maior que a harmônica. Observe que:
n + raizn > n Rightarrow 1n + raizn < 1n
Então, cada termo da nossa série é menor que o correspondente da série harmônica.

Passo 5

Apesar dos termos serem menores, como a série harmônica diverge, isso não nos ajuda a concluir que a nossa série também diverge. Precisamos de uma comparação que indique divergência. Vamos tentar outra abordagem.

Passo 6

Vamos usar uma comparação mais precisa. Observe que para todo n >= 1:
n + raizn <= n + n = 2n
Portanto:
1n + raizn >= 12n

Passo 7

Agora, comparamos nossa série com sumn=1^infty 12n. Essa série é metade da série harmônica, ou seja, também diverge.

Passo 8

Pelo Critério da Comparação, se 1n + raizn >= 12n e a série sum 12n diverge, então a nossa série sum 1n + raizn também diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty 1n+raizn diverge.

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