Em cada caso a seguir, usando o critério adequado, estude quanto à convergência.
(a)
(g)
(m)
®
.
(b)
(h)
©
(i)
(n)
(s)
.
(d)
(i)
(0)
(t)
.
(e)
(k)
(b)
(u)
(i)
(i)
(a)
(v)
- Resposta. divergem: (a), (i), (k), (m), (q), (s) e convergem; (b), ©, (d), (e), (f), (g), (b), (b), (l), (n), (o). §. (t), (t), (u), (v).
(a)
(g)
(m)
®
(b)
(h)
©
(i)
(n)
(s)
(d)
(i)
(0)
(t)
(e)
(k)
(b)
(u)
(i)
(i)
(a)
(v)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no exercício! A gente precisa analisar se a série
converge ou diverge. A matéria que vamos usar aqui é sobre convergência de séries e vamos precisar usar o Critério da Comparação para resolver essa questão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Critério da Comparação. Ele serve para comparar a série que estamos analisando com outra série cujo comportamento a gente já conhece. Se conseguirmos encontrar uma série conhecida que seja maior ou menor que a nossa, podemos concluir sobre a convergência ou divergência da nossa série.
Passo 3
Vamos olhar para a nossa série:
. Para facilitar a comparação, vamos simplificar o denominador. Note que
cresce mais devagar que
, então
é aproximadamente igual a
para valores grandes de
. Isso nos sugere comparar com a série harmônica
.
Passo 4
Sabemos que a série harmônica
diverge. Agora, vamos ver se nossa série é menor ou maior que a harmônica. Observe que:
Então, cada termo da nossa série é menor que o correspondente da série harmônica.
Passo 5
Apesar dos termos serem menores, como a série harmônica diverge, isso não nos ajuda a concluir que a nossa série também diverge. Precisamos de uma comparação que indique divergência. Vamos tentar outra abordagem.
Passo 6
Vamos usar uma comparação mais precisa. Observe que para todo
:
Portanto:
Passo 7
Agora, comparamos nossa série com
. Essa série é metade da série harmônica, ou seja, também diverge.
Passo 8
Pelo Critério da Comparação, se
e a série
diverge, então a nossa série
também diverge.
Resposta
A série
diverge.