Usando série de potências, calcule o valor de integral0^1 / 2 e^-x^2 d x com duas casas decimais. Dica: Use o fato que e^x=sum0 x^nn!.
  • Resposta. Aproximadamente 0,46.

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral de de 0 até . Isso envolve o uso de séries de potências, que são somas infinitas que representam funções. Para resolver, vamos precisar da expansão em série da função exponencial e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como expandir a função exponencial em série de potências. Sabemos que:
e^x = sumn=0^infty x^nn!
Mas no nosso caso, temos e^-x^2 = sumn=0^infty (-x^2)^nn! = sumn=0^infty (-1)^n x^2nn! . Então, substituindo por :

Passo 3

Agora, vamos integrar essa série de 0 até integral0^1/2 e^-x^2 dx = integral0^1/2 sumn=0^infty (-1)^n x^2nn! dx = sumn=0^infty (-1)^nn! integral0^1/2 x^2n dx . A integral de uma série é a soma das integrais de cada termo individualmente:

Passo 4

Vamos calcular a integral de integral0^1/2 x^2n dx = [ x^2n+12n+1 ]0^1/2 = (1/2)^2n+12n+1 de 0 até integral0^1/2 e^-x^2 dx = sumn=0^infty (-1)^n (1/2)^2n+1(2n+1) n! :
Então, substituindo de volta na série:

Passo 5

Agora, vamos calcular os primeiros termos dessa série até que a soma se estabilize com duas casas decimais. Vamos somar os termos até que a diferença entre as somas consecutivas seja menor que 0,005 (para garantir a precisão de duas casas).
Vamos calcular os termos para n = 0: & (-1)^0 (1/2)^11 cdot 0! = 12 = 0,5 n = 1: & (-1)^1 (1/2)^33 cdot 1! = -124 approx -0,0417 n = 2: & (-1)^2 (1/2)^55 cdot 2! = 1160 approx 0,00625 n = 3: & (-1)^3 (1/2)^77 cdot 3! = -11344 approx -0,000744 n = 4: & (-1)^4 (1/2)^99 cdot 4! = 146080 approx 0,0000217 a :

Passo 6

Somando os termos:
0,5 - 0,0417 + 0,00625 - 0,000744 + 0,0000217 approx 0,4635
Como os termos seguintes são muito pequenos e não alteram as duas casas decimais anteriores, podemos parar por aqui.

Resposta

A integral é aproximadamente 0,46.

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