Usando série de potências, calcule o valor de
com duas casas decimais. Dica: Use o fato que
.
- Resposta. Aproximadamente 0,46.
Passo 1
Então, a gente tem que calcular a integral de
de 0 até
. Isso envolve o uso de séries de potências, que são somas infinitas que representam funções. Para resolver, vamos precisar da expansão em série da função exponencial e depois integrar termo a termo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como expandir a função exponencial em série de potências. Sabemos que:
Mas no nosso caso, temos
. Então, substituindo
por
:
Passo 3
Agora, vamos integrar essa série de 0 até
. A integral de uma série é a soma das integrais de cada termo individualmente:
Passo 4
Vamos calcular a integral de
de 0 até
:
Então, substituindo de volta na série:
Passo 5
Agora, vamos calcular os primeiros termos dessa série até que a soma se estabilize com duas casas decimais. Vamos somar os termos até que a diferença entre as somas consecutivas seja menor que 0,005 (para garantir a precisão de duas casas).
Vamos calcular os termos para
a
:
Passo 6
Somando os termos:
Como os termos seguintes são muito pequenos e não alteram as duas casas decimais anteriores, podemos parar por aqui.
Resposta
A integral
é aproximadamente 0,46.