Considero a curva C obtida como interseção das seguintes superfícies: x^2 + y^2 + z^2 = 4y - z = y. Pede-se:
(a) encontrar uma parametrização da curva C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar uma parametrização da curva $ C $, que é a interseção das superfícies $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4y $ e $ z = y $. Aqui, estamos lidando com geometria analítica, especificamente com interseções de superfícies no espaço tridimensional. Vamos precisar usar um pouco de álgebra para encontrar uma expressão que descreva $ x $, $ y $ e $ z $ em função de um parâmetro.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar as equações para facilitar a parametrização. Já que $ z = y $, podemos substituir $ z $ por $ y $ na primeira equação:
z = y
Isso simplifica para:
z

Passo 3

Agora, queremos isolar uma das variáveis para expressá-la em termos do parâmetro. Vamos reorganizar a equação para completar o quadrado em relação a $ y $:
y
Dividindo tudo por 2:
x^2 + 2y^2 - 4y = 0
Adicionando e subtraindo 1 para completar o quadrado:
x^22 + y^2 - 2y = 0
Isso fica:
x^22 + (y^2 - 2y + 1) - 1 = 0

Passo 4

A equação resultante é a de uma elipse no espaço, onde $ \frac{x^{2}}{2} + (y - 1)^{2} = 1 $. Para parametrizar essa elipse, podemos usar uma parametrização padrão de elipse com ângulo $ \theta $:
x^22 + (y - 1)^2 = 1
theta
E, como $ z = y $, então:
x = raiz2 cos theta
Aqui, $ \theta $ varia de $ 0 $ a $ 2\pi $ para cobrir toda a curva.

Resposta

Uma parametrização da curva $ C $ é dada por:
C
onde $ \theta $ varia de $ 0 $ a $ 2\pi $.

Exercícios relacionados