Considero a curva
obtida como interseção das seguintes superfícies:
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. Pede-se:
(a) encontrar uma parametrização da curva
.
(a) encontrar uma parametrização da curva
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar uma parametrização da curva $ C $, que é a interseção das superfícies $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4y $ e $ z = y $. Aqui, estamos lidando com geometria analítica, especificamente com interseções de superfícies no espaço tridimensional. Vamos precisar usar um pouco de álgebra para encontrar uma expressão que descreva $ x $, $ y $ e $ z $ em função de um parâmetro.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar as equações para facilitar a parametrização. Já que $ z = y $, podemos substituir $ z $ por $ y $ na primeira equação:
Isso simplifica para:
Passo 3
Agora, queremos isolar uma das variáveis para expressá-la em termos do parâmetro. Vamos reorganizar a equação para completar o quadrado em relação a $ y $:
Dividindo tudo por 2:
Adicionando e subtraindo 1 para completar o quadrado:
Isso fica:
Passo 4
A equação resultante é a de uma elipse no espaço, onde $ \frac{x^{2}}{2} + (y - 1)^{2} = 1 $. Para parametrizar essa elipse, podemos usar uma parametrização padrão de elipse com ângulo $ \theta $:
E, como $ z = y $, então:
Aqui, $ \theta $ varia de $ 0 $ a $ 2\pi $ para cobrir toda a curva.
Resposta
Uma parametrização da curva $ C $ é dada por:
onde $ \theta $ varia de $ 0 $ a $ 2\pi $.