Considero a curva
obtida como interseção das seguintes superfícies:
-
. Pede-se:
(b) determinar uma equação da reta tangente à curva no ponto
.
(b) determinar uma equação da reta tangente à curva no ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma curva $ C $ que é a interseção de duas superfícies: uma esfera dada por $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4y $ e um plano $ z = y $. Nosso objetivo é determinar a equação da reta tangente a essa curva no ponto $ (\sqrt{2}, 1, 1) $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo vetorial, exatamente aqueles que a gente aprende sobre vetores normais e produto vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as superfícies que formam a curva $ C $. A equação $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4y $ representa uma esfera. Podemos reescrevê-la para facilitar a visualização:
Completando o quadrado para o termo de $ y $:
Então, essa esfera tem centro em $ (0, 2, 0) $ e raio 2.
O plano $ z = y $ é um plano que inclina-se de forma que o valor de $ z $ é sempre igual ao de $ y $.
Passo 3
Agora, para achar a reta tangente à curva $ C $ no ponto dado, vamos precisar encontrar um vetor tangente à curva nesse ponto. Como $ C $ é a interseção de duas superfícies, o vetor tangente estará na interseção dos planos tangentes a essas superfícies no ponto $ (\sqrt{2}, 1, 1) $.
Para isso, vamos calcular os vetores normais às superfícies no ponto. O vetor normal a uma superfície definida por $ F(x, y, z) = 0 $ é dado pelo gradiente de $ F $, ou seja, $ \nabla F $.
Para a esfera $ F_1(x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4y $:
No ponto $ (\sqrt{2}, 1, 1) $:
Para o plano $ F_2(x, y, z) = z - y $:
Passo 4
Agora que temos os vetores normais às superfícies no ponto, podemos encontrar o vetor tangente à curva $ C $ tomando o produto vetorial desses dois vetores normais. O produto vetorial $ \nabla F_1 \times \nabla F_2 $ nos dá um vetor que é perpendicular a ambos os vetores normais, ou seja, paralelo ao vetor tangente à curva.
Vamos calcular:
Expandindo o determinante:
Simplificando:
Podemos fatorar $ -2\sqrt{2} $:
O vetor direção da reta tangente pode ser representado por $ (0, 1, 1) $.
Passo 5
Com o ponto $ (\sqrt{2}, 1, 1) $ e o vetor direção $ (0, 1, 1) $, podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente. A forma geral é:
Onde $ (x_0, y_0, z_0) $ é o ponto dado e $ (a, b, c) $ são as componentes do vetor direção.
Aplicando os valores:
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto $ (\sqrt{2}, 1, 1) $ é: