Em cada caso a seguir: Verifique se a operação () sobre (E) é associativa, comutativa ou possui elemento neutro.
(E=\mathbb{R}^{
}) e (x * y=\frac{x}{y})

Passo 1

A questão diz pra gente olhar a operação * definida em E = ℝ* (reais não nulos) por x * y = x/y e verificar três propriedades clássicas de operações em conjuntos: associatividade, comutatividade e existência de elemento neutro. Na prática, vamos usar as definições: associativa significa (xy)z = x(yz) para todo x,y,z; comutativa quer dizer xy = yx; elemento neutro e ∈ E satisfaz xe = ex = x para todo x.

Passo 2

Pra testar associatividade, calculamos primeiro (xy)z e depois x(yz) e comparamos.
Primeiro,
(x*y)*z = xy * z = xyz = xy,z
Agora,
x*(y*z) = x * yz = xtfracyz = x,zy
Como tfracxy,z neq tfracx,zy em geral, * não é associativa.

Passo 3

Para comutatividade, verificamos se xy = yx, ou seja,
xy stackrel?= yx
Essa igualdade só ocorreria em casos especiais (por exemplo, x² = y²), mas não vale para todo x,y. Logo, * não é comutativa.

Passo 4

Para achar elemento neutro, procuramos e ∈ ℝ* que satisfaça xe = x e ex = x para todo x. Primeiro, x*e = x quer dizer
xe = x implies e = 1
Mas aí testamos e*x = x:
1 * x = 1x stackrel?= x
Isso daria 1 = x² para todo x, o que é impossível. Então não existe e que funcione dos dois lados, ou seja, não há elemento neutro.

Passo 5

Resumo: a operação xy = x/y em ℝ falha em ser associativa, falha em ser comutativa e também não tem elemento neutro único que funcione dos dois lados.

Resposta

  • não é associativa; * não é comutativa; não existe elemento neutro em ℝ* para essa operação.

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