Encontre uma família de soluções (implícitas) a um parâmetro para cada EDO abaixo.
-y+(x+raizx y) d yd x=0

Passo 1

O enunciado pede para achar a família de soluções implícitas, com um parâmetro, da EDO de primeira ordem
-y + l(x + raizx yr)dydx = 0
Esse tipo de equação é homogênea porque a razão y/x aparece dentro da raiz. Vamos usar a técnica de substituição y = v x.

Passo 2

Primeiro, isolamos dy/dx na equação original:
(x + raizx y)dydx = y
Logo
dydx = yx + raizx y

Passo 3

Como o lado direito depende de y/x, fazemos
y = v x Longrightarrow dydx = v + xdvdx
Substituindo em dydx = yx + raizx y e lembrando que raizx y=xraizv, obtemos
v + xdvdx = v xx(1+raizv) = v1+raizv

Passo 4

Reorganizando para separar variáveis:
xdvdx = v1+raizv - v = -vraizv1+raizv
Logo
1+raizvvraizv,dv = -dxx

Passo 5

Agora integramos dos dois lados. No lado de v:
integrall(v^-3/2+v^-1r)dv = integral v^-3/2dv + integral v^-1dv = -2v^-1/2 + ln|v|
No lado de x:
integral -dxx = -ln|x| + C
Portanto
-2v^-1/2 + ln|v| = -ln|x| + C
ou, reagrupando,
2v^-1/2 - ln|v| = ln|x| + C'

Passo 6

Voltando à variável original v=y/x, temos v^-1/2=raizx/y e ln|v|=ln|y/x|=ln|y|-ln|x|. Substituindo em
2raiztfracxy - (ln|y|-ln|x|) = ln|x| + C'
os ln|x| se cancelam, sobrando
2raizxy - ln|y| = C'',
que é a solução implícita genérica.

Passo 7

Ajustando o sinal do parâmetro, a forma mais comum é
ln|y| - 2raizxy = C,
o que encerra a família de soluções implícitas.

Resposta

ln|y| - 2raiztfracxy = C

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