Encontre uma família de soluções (implícitas) a um parâmetro para cada EDO abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para achar a família de soluções implícitas, com um parâmetro, da EDO de primeira ordem
Esse tipo de equação é homogênea porque a razão
aparece dentro da raiz. Vamos usar a técnica de substituição
.
Passo 2
Primeiro, isolamos
na equação original:
Logo
Passo 3
Como o lado direito depende de
, fazemos
Substituindo em
Passo 4
Reorganizando para separar variáveis:
Logo
Passo 5
Agora integramos dos dois lados. No lado de
:
No lado de
:
Portanto
ou, reagrupando,
Passo 6
Voltando à variável original
, temos
e
. Substituindo em
os
se cancelam, sobrando
que é a solução implícita genérica.
Passo 7
Ajustando o sinal do parâmetro, a forma mais comum é
o que encerra a família de soluções implícitas.