Mostre que as esferas
e
são tangentes no ponto (
).
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas esferas definidas pelas equações
e
. A tarefa é mostrar que essas duas esferas são tangentes no ponto
. Para resolver isso, precisamos usar conceitos de geometria espacial, especificamente sobre esferas e tangência entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os centros e os raios das duas esferas. A equação geral de uma esfera é
, onde
é o centro e
é o raio.
Para a primeira esfera
:
- Centro:
- Raio:
Para a segunda esfera
:
- Centro:
- Raio:
Passo 3
Agora, vamos calcular a distância entre os centros das duas esferas. A distância
entre dois pontos
e
é dada por:
Aplicando isso aos centros
e
:
Passo 4
Para que duas esferas sejam tangentes externamente, a distância entre os centros deve ser igual à soma dos raios. Vamos verificar isso:
Soma dos raios:
A distância entre os centros:
Queremos que:
Passo 5
Vamos analisar a expressão
. Dependendo dos valores de
e
, isso pode simplificar de diferentes maneiras. Supondo que
:
Então:
Portanto, temos:
Isso é verdadeiro se
. Assim, a condição
se mantém válida, indicando que as esferas são tangentes externamente.
Resposta
As duas esferas são tangentes no ponto
porque a distância entre seus centros é igual à soma de seus raios, satisfazendo a condição de tangência externa.