Mostre que as esferas x^2+y^2+z^2=a^2 e (x-b)^2+y^2+z^2=(b-a)^2 são tangentes no ponto ( a, 0,0 ).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas esferas definidas pelas equações x^2 + y^2 + z^2 = a^2 e (x - b)^2 + y^2 + z^2 = (b - a)^2. A tarefa é mostrar que essas duas esferas são tangentes no ponto (a, 0, 0). Para resolver isso, precisamos usar conceitos de geometria espacial, especificamente sobre esferas e tangência entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os centros e os raios das duas esferas. A equação geral de uma esfera é (x - h)^2 + (y - k)^2 + (z - l)^2 = r^2, onde (h, k, l) é o centro e r é o raio.
Para a primeira esfera x^2 + y^2 + z^2 = a^2:
  • Centro: (0, 0, 0)
  • Raio: a
Para a segunda esfera (x - b)^2 + y^2 + z^2 = (b - a)^2:
  • Centro: (b, 0, 0)
  • Raio: |b - a|

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância entre os centros das duas esferas. A distância d entre dois pontos (x1, y1, z1) e (x2, y2, z2) é dada por:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2
Aplicando isso aos centros (0, 0, 0) e (b, 0, 0):
d = raiz(b - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (0 - 0)^2 = raizb^2 = |b|

Passo 4

Para que duas esferas sejam tangentes externamente, a distância entre os centros deve ser igual à soma dos raios. Vamos verificar isso:
Soma dos raios:
a + |b - a|
A distância entre os centros:
|b|
Queremos que:
|b| = a + |b - a|

Passo 5

Vamos analisar a expressão a + |b - a|. Dependendo dos valores de a e b, isso pode simplificar de diferentes maneiras. Supondo que b > a:
|b - a| = b - a
Então:
a + (b - a) = b
Portanto, temos:
|b| = b
Isso é verdadeiro se b > 0. Assim, a condição d = a + |b - a| se mantém válida, indicando que as esferas são tangentes externamente.

Resposta

As duas esferas são tangentes no ponto (a, 0, 0) porque a distância entre seus centros é igual à soma de seus raios, satisfazendo a condição de tangência externa.

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