Encontre uma família de soluções (implícitas) a um parâmetro para cada EDO abaixo.
Passo 1
O enunciado dá a EDO
É uma equação homogênea (numerador e denominador têm mesmo grau). Vamos usar a substituição
para transformá-la em equação separável.
Passo 2
Reescrevendo a EDO na forma explícita, temos
Isso deixa claro a homogeneidade e prepara para a substituição.
Passo 3
Fazendo
, decorre
Substituindo na equação,
onde usamos
.
Passo 4
Isolando
e separando variáveis, obtemos
$$
x\frac{du}{dx} = \frac{2u}{3+u^3} - u = -\frac{u(u3+1)}{3+u3}
\frac{3+u3}{u(1+u3)},du = -\frac{dx}{x}.
$$
Passo 5
Para integrar o lado esquerdo, fazemos frações parciais:
Logo,
Do outro lado,
Passo 6
Reunindo,
Multiplicando por 3, somando logs e exponenciando, e lembrando
, achamos
que é a família implícita de soluções.
Passo 7
Finalizamos escrevendo a solução no formato mais comum: