Encontre uma família de soluções (implícitas) a um parâmetro para cada EDO abaixo.
2 x^2 y=(3 x^3+y^3) d yd x

Passo 1

O enunciado dá a EDO
2x^2y = (3x^3 + y^3)dydx
É uma equação homogênea (numerador e denominador têm mesmo grau). Vamos usar a substituição y = ux para transformá-la em equação separável.

Passo 2

Reescrevendo a EDO na forma explícita, temos
dydx = 2x^2y3x^3 + y^3
Isso deixa claro a homogeneidade e prepara para a substituição.

Passo 3

Fazendo y = ux, decorre
dydx = u + xdudx
Substituindo na equação,
u + xdudx = 2u3+u^3
onde usamos y^3 = u^3x^3.

Passo 4

Isolando x,du/dx e separando variáveis, obtemos
$$
x\frac{du}{dx} = \frac{2u}{3+u^3} - u = -\frac{u(u3+1)}{3+u3} xdudx = 2u3+u^3 - u = -u(u^3+1)3+u^3
\frac{3+u3}{u(1+u3)},du = -\frac{dx}{x}.
$$

Passo 5

Para integrar o lado esquerdo, fazemos frações parciais:
3+u^3u(u^3+1) = 3u - 2u^2u^3+1
Logo,
integrall(3u - 2u^2u^3+1r)du = 3ln|u| - tfrac23ln|u^3+1|
Do outro lado,
integral -dxx = -ln|x| + C

Passo 6

Reunindo,
3ln|u| - tfrac23ln|u^3+1| = -ln|x| + C
Multiplicando por 3, somando logs e exponenciando, e lembrando u=y/x, achamos
y^9(y^3 + x^3)^2 = K,
que é a família implícita de soluções.

Passo 7

Finalizamos escrevendo a solução no formato mais comum:

Resposta

y^9(x^3+y^3)^2 = C

Exercícios relacionados