Em cada caso, temos que existe uma função y=y(x) que é diferenciável e que é dada implicitamente pela equação indicada. Determine d yd x.
arctg(x^2 y)=x+x y^2

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
arctgl(x^2yr)=x + x,y^2
e pede dfracdydx.
O que vamos usar:
– Regra da cadeia para arctg(u), cuja derivada é dfracu'1+u^2.
– Regra do produto em x^2y e em x,y^2.
– Isolamento de y'.

Passo 2

Derivamos ambos os lados em relação a x.
À esquerda, com u=x^2y,
ddxl[arctg(u)r] =u'1+u^2 =ddx(x^2y)1+(x^2y)^2 =2x,y + x^2y'1+x^4y^2
À direita,
ddxl[x + x,y^2r] =1 + l(1cdot y^2 + xcdot 2y,y'r) =1 + y^2 + 2x,y,y'
Logo a igualdade das derivadas é
2x,y + x^2y'1+x^4y^2 =1 + y^2 + 2x,y,y'

Passo 3

Multiplicamos por 1+x^4y^2 e agrupamos os termos com y':
2x,y + x^2y' =(1+x^4y^2)l(1 + y^2 + 2x,y,y'r)
Expandindo e levando tudo com y' para o lado esquerdo:
2x,y + x^2y' =(1+x^4y^2)(1+y^2) + (1+x^4y^2)cdot 2x,y,y',
x^2y' - 2x,y,(1+x^4y^2),y' =(1+x^4y^2)(1+y^2) - 2x,y
Fatorando y':
y',l[x^2 - 2x,y,(1+x^4y^2)r] =(1+x^4y^2)(1+y^2) - 2x,y

Passo 4

Isolamos y' dividindo:
y' =(1+x^4y^2)(1+y^2) - 2x,y x^2 - 2x,y,(1 + x^4y^2)

Resposta

dydx =(1+x^4y^2)(1+y^2) - 2x,y x^2 - 2x,y,(1 + x^4y^2)

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