Em cada um dos itens abaixo, verifique se a EDO dada é linear; em caso afirmativo, resolva a EDO.
a) d yd x=x+y
b) (1+x^2) d y+(x y+x^3+x) d x=0
c) (1-x^3) d yd x=3 x^2 y
d) (1+x) y^prime-x y=x+x^2
e) x y^prime+(1+x) y=e^-x sen(2 x)
f) (1-cos (x)) d y+(2 y sen(x)-tg(x)) d x=0
g) x y^prime+2 y=e^x+ln (x y)
h) y^prime=2 y+x(e^3 x-e^2 x)
i) x y^prime+y=e^x
j) d Qd x=5 x^4 Q
k) y^12 d yd x+y^32=1
l) 2 y^prime=yx-xy^2

Passo 1

Precisamos, para cada item, checar se a EDO pode ser escrita na forma linear de primeira ordem
dydx+P(x),y=Q(x)
ou equivalente. Se for linear, usamos o fator integrante
mu(x)=e^integral P(x),dx
para transformar a equação em
l(mu(x),yr)'=mu(x),Q(x),
integramos e reaplicamos y.

Passo 2

Item (a):
dydx=x+y
Reescrevendo
dydx-y = x,
é linear com P(x)=-1, Q(x)=x.
mu(x)=e^integral -1,dx=e^-x.
Multiplicando e reconhecendo
l(e^-xyr)'=x,e^-x,
integramos:
e^-xy=integral x e^-x,dx=-(x+1)e^-x+C Longrightarrow y=-(x+1)+C,e^x

Passo 3

Item (b):
l(1+x^2r),dy+l(x,y+x^3+xr),dx=0
é equivalente a
dydx+x1+x^2,y=-x
Aqui P(x)=x1+x^2, Q(x)=-x.
mu(x)=e^integral x1+x^2dx=raiz1+x^2.
Então
l(raiz1+x^2,yr)'=-xraiz1+x^2,
raiz1+x^2,y =integral -xraiz1+x^2,dx =-tfrac13,(1+x^2)^3/2+C,
y=-tfrac13,(1+x^2)+Craiz1+x^2

Passo 4

Item (c):
(1-x^3)dydx=3x^2y
Longrightarrow dydx-3x^21-x^3y=0.
É linear homogênea com P(x)=-3x^21-x^3.
mu(x)=e^integral -3x^21-x^3dx =e^ln|1-x^3| =1-x^3
Então
l((1-x^3)yr)'=0 Longrightarrow (1-x^3)y=C Longrightarrow y=C1-x^3

Passo 5

Item (d):
(1+x)y'-x,y=x+x^2
Longrightarrow y'-x1+xy=x.
P(x)=-x1+x, Q(x)=x.
mu(x)=e^integral -x1+xdx =e^-x(,1+x,)
Multiplicando,
l(e^-x(1+x),yr)'=x,e^-x(1+x)
Integramos integral x(1+x)e^-xdx = -e^-x(x^2+3x+3)+C,
logo
e^-x(1+x)y =-e^-x(x^2+3x+3)+C Longrightarrow y=-l(x^2+3x+3r)+C,e^x1+x

Passo 6

Item (e):
x,y'+(1+x)y=e^-xsin(2x) Longrightarrow y'+1+xxy=e^-xsin(2x)x
P(x)=tfrac1+xx, Q(x)=tfrace^-xsin(2x)x.
mu(x)=e^integral(1x+1)dx=x,e^x.
l(xe^xyr)'=sin(2x),
x e^xy=integralsin(2x),dx=-tfrac12cos(2x)+C Longrightarrow y=-tfrac12cos(2x)+Cx,e^x

Passo 7

Item (f):
(1-cos x),dy+(2ysin x-tan x),dx=0
Longrightarrow dydx +2sin x1-cos x,y =tan x1-cos x.
É linear com P(x)=tfrac2sin x1-cos x.
mu(x)=e^integral!2cotx2,dx =sin^4!l(x2r)
Então
l(sin^4!tfracx2,yl)' =sin^4!tfracx2,tan x1-cos x,
fazendo t=sin^2!(x/2) e integrando, chega-se a
sin^4!tfracx2;y =-tfrac12,sin^2!tfracx2 -tfrac14lnl|cos xr|+C

Passo 8

Item (g):
x,y'+2y=e^x+ln(xy)
O termo ln(xy) depende de y de forma não afim, logo não é linear.

Passo 9

Item (h):
y'=2y+xl(e^3x-e^2xr)
Longrightarrow y'-2y=xl(e^3x-e^2xr).
mu(x)=e^-2x.
l(e^-2xyr)' =e^-2x,xl(e^3x-e^2xr) =xl(e^x-1r)
e^-2xy =integral x(e^x-1),dx =(x-1)e^x-tfracx^22+C,
y =(x-1)e^3x-x^22e^2x+C,e^2x

Passo 10

Item (i):
x,y'+y=e^x Longrightarrow y'+1xy=e^xx,
mu(x)=e^integral1/x,dx=x.
l(xyr)'=e^x Longrightarrow xy=e^x+C Longrightarrow y=e^xx+Cx

Passo 11

Item (j):
dQdx=5x^4Q
Longrightarrow dQdx-5x^4Q=0, linear homogênea.
Q'Q=5x^4 Longrightarrow ln|Q|=x^5+C Longrightarrow Q=C,e^x^5

Passo 12

Item (k):
y^tfrac12dydx+y^tfrac32=1
Reescrevendo dydx+y=y^-tfrac12,
o termo à direita depende de y não afim, logo não é linear.

Passo 13

Item (l):
2y'=yx-xy^2 Longrightarrow y'=y2x-x2y^2,
o termo -tfracx2y^2 não é afim em y, logo não é linear.

Resposta

a) linear, y=-(x+1)+C,e^x.
b) linear, y=-tfrac13(1+x^2)+dfracCraiz1+x^2.
c) linear homogênea, y=dfracC1-x^3.
d) linear, y=dfrac-!(x^2+3x+3)+C,e^x1+x.
e) linear, y=dfrac-tfrac12cos(2x)+Cx,e^x.
f) linear, sin^4tfracx2,y=-tfrac12sin^2tfracx2-tfrac14ln|cos x|+C.
g) não é linear.
h) linear, y=(x-1)e^3x-tfracx^22e^2x+C,e^2x.
i) linear, y=dfrace^xx+dfracCx.
j) linear homogênea, Q=C,e^x^5.
k) não é linear.
l) não é linear.

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