Escreva as formas de decomposição em frações parciais das funções. Não determine os valores numéricos dos coeficientes da decomposição.
Exemplo: x+8x^2+x-2=Ax-1+Bx+2
4 xx^3-x^2-x+1

Passo 1

O enunciado pede a decomposição em frações parciais da função racional
4xx^3-x^2-x+1
sem determinar os valores numéricos dos coeficientes. O conteúdo é fatoração de polinômio e montagem da forma geral de frações parciais.

Passo 2

Vamos fatorar o denominador por agrupamento:
x^3-x^2-x+1 = x^2(x-1)-1,(x-1) = (x-1),(x^2-1)
Em seguida, fatoramos x^2-1 como diferença de quadrados:
x^2-1 = (x-1)(x+1)
Logo,
x^3-x^2-x+1 = (x-1)^2(x+1)

Passo 3

Como o denominador tem um fator linear repetido (x-1)^2 e um fator linear simples (x+1), a forma geral da decomposição é
4x(x-1)^2(x+1) = Ax-1 ;+;B(x-1)^2 ;+;Cx+1,
onde A, B e C são constantes a serem determinadas.

Resposta

4xx^3-x^2-x+1 = Ax-1 + B(x-1)^2 + Cx+1

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