Considere a EDO
y^prime=e^x+y
a) Encontre sua solução geral, que é y(x)=ln (1k-e^x).
b) Determine o valor da constante k para que y(0)=0.
c) Determine o valor da constante k para que y(a)=b .

Passo 1

O enunciado apresenta a EDO
y' = e^x+y
e pede: (a) a solução geral y(x)=lnl(tfrac1k-e^xr), (b) o valor de k para que y(0)=0 e (c) o valor de k para que y(a)=b. Vamos usar o método de separação de variáveis.

Passo 2

Separe as variáveis escrevendo
dydx = e^x+y Longrightarrow e^-y,dy = e^x,dx
Agora integre ambos os lados:
integral e^-y,dy = integral e^x,dx Longrightarrow -,e^-y = e^x + C

Passo 3

Reescreva a constante: seja k = -C. Então
e^-y = k - e^x Longrightarrow e^y = 1k - e^x Longrightarrow y = ln!l(1k - e^xr)

Passo 4

Para y(0)=0, substitua x=0 e y=0 em
0 = ln!l(tfrac1k - e^0r) Longrightarrow 1 = 1k-1 Longrightarrow k - 1 = 1 Longrightarrow k = 2

Passo 5

Para y(a)=b, substitua x=a e y=b em
b = ln!l(tfrac1k - e^ar) Longrightarrow e^b = 1k - e^a Longrightarrow k - e^a = e^-b Longrightarrow k = e^-b + e^a

Resposta

(a) y(x)=ln!l(1k-e^xr)
(b) k=2
(c) k=e^-b+e^a

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