Determinar o vetor
, ortogonal ao eixo
, sabendo que
e
, sendo
e
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Vetores fornecidos:
e . - Precisamos determinar um vetor
tal que é ortogonal ao eixo e satisfaz
As perguntas são: qual é o vetor
que cumpre essas três condições?
Passo 2
Entendendo a condição "ortogonal ao eixo
". O eixo
é a direção do vetor unitário
. Um vetor é ortogonal a
quando o produto escalar com
é zero:
Escrevendo um vetor genérico
, temos
Portanto a condição implica
. Conclusão prática: podemos buscar
na forma
com
e
desconhecidos.
Passo 3
Lembrando a definição do produto escalar em coordenadas: para
e
,
Agora aplico as condições dadas usando
:
Para
:
Para
:
Assim obtemos o sistema linear em
e
:
Passo 4
Resolver o sistema passo a passo. Da segunda equação isolamos
:
Substituímos em
:
Calculemos com calma:
Agora voltamos em
:
Passo 5
Montamos o vetor
com os componentes encontrados:
Fazer uma checagem rápida (sempre boa antes da prova):
e a componente em
é zero, então
é ortogonal a
. Tudo confere.