Determinar o vetor \vec{v}, ortogonal ao eixo O y, sabendo que \vec{v} \cdot \vec{u}=8 e \vec{v} \cdot \vec{w}=-3, sendo \vec{u}=(3,1,-2) e \vec{w}=(-1,1,1).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Vetores fornecidos: \vec{u}=(3,1,-2) e \vec{w}=(-1,1,1).
  • Precisamos determinar um vetor \vec{v} tal que \vec{v} é ortogonal ao eixo O y e satisfaz \vec{v}\cdot\vec{u}=8,\qquad \vec{v}\cdot\vec{w}=-3.
As perguntas são: qual é o vetor \vec{v} que cumpre essas três condições?

Passo 2

Entendendo a condição "ortogonal ao eixo O y". O eixo O y é a direção do vetor unitário \vec{e}_y=(0,1,0). Um vetor é ortogonal a O y quando o produto escalar com \vec{e}_y é zero:
\vec{v}\cdot\vec{e}_y=0.
Escrevendo um vetor genérico \vec{v}=(x,y,z), temos
\vec{v}\cdot\vec{e}_y = x\cdot 0 + y\cdot 1 + z\cdot 0 = y.
Portanto a condição implica y=0. Conclusão prática: podemos buscar \vec{v} na forma
\vec{v}=(x,0,z),
com x e z desconhecidos.

Passo 3

Lembrando a definição do produto escalar em coordenadas: para \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3),
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Agora aplico as condições dadas usando \vec{v}=(x,0,z):
Para \vec{v}\cdot\vec{u}=8:
\vec{v}\cdot\vec{u}=x\cdot 3 + 0\cdot 1 + z\cdot(-2)=3x-2z=8.
Para \vec{v}\cdot\vec{w}=-3:
\vec{v}\cdot\vec{w}=x\cdot(-1)+0\cdot 1 + z\cdot 1 = -x+z=-3.
Assim obtemos o sistema linear em x e z:
\begin{cases} 3x-2z=8,\\[4pt] -x+z=-3. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema passo a passo. Da segunda equação isolamos z:
-x+z=-3 \quad\Rightarrow\quad z = x-3.
Substituímos em 3x-2z=8:
3x-2(x-3)=8.
Calculemos com calma:
3x-2x+6=8 \quad\Rightarrow\quad x+6=8 \quad\Rightarrow\quad x=2.
Agora voltamos em z=x-3:
z=2-3=-1.

Passo 5

Montamos o vetor \vec{v} com os componentes encontrados:
\vec{v}=(x,0,z)=(2,0,-1).
Fazer uma checagem rápida (sempre boa antes da prova):
\vec{v}\cdot\vec{u}=3\cdot 2 + 1\cdot 0 + (-2)\cdot(-1)=6+2=8,
\vec{v}\cdot\vec{w}=(-1)\cdot 2 + 1\cdot 0 + 1\cdot(-1)=-2-1=-3,
e a componente em y é zero, então \vec{v} é ortogonal a O y. Tudo confere.

Resposta

\vec{v}=(2,0,-1)

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