Sejam os pontos P(2,3), Q(4,2) e R(3,5).
a) Representar em um mesmo gráfico os vetores posição de \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} de modo que \mathrm{Q}=\mathrm{P}+\vec{u}, \mathrm{R}=\mathrm{Q}+\vec{v} e \mathrm{P}=\mathrm{R}+\vec{w} ;
b) Determinar \vec{u}+\vec{v}+\vec{w}.

Passo 1

Vou listar com calma o que o enunciado dá e o que pede, bem mastigado:
  • Dados os pontos \(P(2,3),\; Q(4,2),\; R(3,5)).
  • O enunciado pede duas coisas:
    1. (a) Representar, no mesmo gráfico, os vetores posição \vec{u},\vec{v},\vec{w} tais que \(Q = P + \vec{u}, R = Q + \vec{v} e P = R + \vec{w}).
    2. (b) Determinar \vec{u}+\vec{v}+\vec{w}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As igualdades dadas indicam vetores deslocamento entre os pontos (por exemplo, \vec{u} é o vetor que leva P até Q).
  • Temos as coordenadas explícitas de P,Q,R, então podemos calcular os vetores por subtração de coordenadas.

Passo 2

Conceito importante (explicação didática e simples sobre como extrair vetores entre pontos):
  • Se A(x_a,y_a) e B(x_b,y_b) são pontos do plano, o vetor que vai de A até B (denotado \overrightarrow{AB}) tem componentes
\overrightarrow{AB} = (x_b-x_a,\; y_b-y_a).
Isto significa: subtrai-se a coordenada x do ponto inicial da coordenada x do ponto final, e o mesmo para y. Isso gera as componentes do vetor na base canônica (i, j).
  • Para somar vetores, soma-se componente a componente:
(a_1,a_2)+(b_1,b_2)=(a_1+b_1,\;a_2+b_2).
Essas duas regras móveis são tudo o que precisamos para aplicar aqui.

Passo 3

Calcular \vec{u} a partir de \(Q = P + \vec{u}).
  • Por rearranjo temos \(\vec{u} = Q - P).
  • Usando as coordenadas \(P(2,3) e Q(4,2)), aplicamos a fórmula de subtração:
\vec{u} = (4-2,\;2-3) = (2,\;-1).
Interpretação: \vec{u} é um deslocamento de 2 unidades para a direita e 1 unidade para baixo.

Passo 4

Calcular \vec{v} a partir de \(R = Q + \vec{v}).
  • Temos \(\vec{v} = R - Q).
  • Com \(Q(4,2) e R(3,5)):
\vec{v} = (3-4,\;5-2) = (-1,\;3).
Interpretação: \vec{v} é um deslocamento de 1 unidade para a esquerda e 3 unidades para cima.

Passo 5

Calcular \vec{w} a partir de \(P = R + \vec{w}).
  • Assim \(\vec{w} = P - R).
  • Com \(R(3,5) e P(2,3)):
\vec{w} = (2-3,\;3-5) = (-1,\;-2).
Interpretação: \vec{w} é um deslocamento de 1 para a esquerda e 2 para baixo.

Passo 6

Instruções passo a passo para representar tudo num único gráfico (como desenhar na prova, sem precisar de software):
  1. Desenhe um sistema de eixos cartesianos com escala de 1 unidade por traço.
  2. Marque os pontos:
    • P em (2,3): vá 2 à direita e 3 para cima, marque um ponto e escreva P(2,3).
    • Q em (4,2): 4 à direita e 2 para cima, marque Q(4,2).
    • R em (3,5): 3 à direita e 5 para cima, marque R(3,5).
  3. Desenhe as setas (vetores) entre os pontos:
    • Do ponto P até Q desenhe uma seta e rotule \vec{u}. Ela tem componente (2,-1).
    • Do ponto Q até R desenhe uma seta e rotule \vec{v}. Ela tem componente (-1,3).
    • Do ponto R até P desenhe uma seta e rotule \vec{w}. Ela tem componente (-1,-2).
  4. Conferência rápida: o comprimento relativo e direção das setas devem bater com as componentes acima (por exemplo, a seta \vec{u} avança 2 à direita e desce 1).
    Dica prática para a prova: desenhe primeiro os pontos e depois, a partir de cada ponto, conte as unidades indicadas pelas componentes para traçar a seta com precisão.

Passo 7

Determinar \vec{u}+\vec{v}+\vec{w} por soma componente a componente:
  • Primeiro, recapitular os vetores:
\vec{u}=(2,\,-1),\qquad \vec{v}=(-1,\;3),\qquad \vec{w}=(-1,\,-2).
  • Somando componentes x e y separadamente:
\vec{u}+\vec{v}+\vec{w} = (\,2+(-1)+(-1),\; -1+3+(-2)\,).
Calcule cada componente:
2+(-1)+(-1)=0, \qquad -1+3+(-2)=0.
Portanto
\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}=(0,\;0)=\vec{0}.
Interpretação geométrica (aula rápida e motivadora): a soma nula significa que os três deslocamentos formam um percurso fechado — de P para Q, de Q para R, e de R de volta a P. É exatamente o que se espera ao andar em um triângulo: voltar ao ponto inicial dá soma de deslocamentos igual a zero.

Resposta

a) \vec{u}=(2,-1) de P(2,3) para Q(4,2);\ \vec{v}=(-1,3) de Q(4,2) para R(3,5);\ \vec{w}=(-1,-2) de R(3,5) para P(2,3).
b) \vec{u}+\vec{v}+\vec{w}=\vec{0}=(0,0)

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