Em cada caso, verifique se f é função do conjunto A no conjunto B.
A=\{1,2,3,4,5,6\}, \quad B=\{a, b, c, d, e, f\} .
No caso em que f é função, diga se ela é injetora e/ou sobrejetora. Em cada caso, encontre f^{-1} e verifique se f^{-1} é ou não função.
f=\{(1, b),(2, d),(3, e),(4, f),(5, a),(6, d)\}

Passo 1

O enunciado dá os conjuntos
A = \{1,2,3,4,5,6\},\quad B = \{a,b,c,d,e,f\}
e a relação
f = \{(1,b),(2,d),(3,e),(4,f),(5,a),(6,d)\}.
Precisamos verificar se f é função de A em B, depois checar injetividade e sobrejetividade, e por fim construir f^{-1} e ver se ela é função.

Passo 2

Para ser função de A em B, cada x\in A deve aparecer exatamente uma vez como primeira coordenada em f. Aqui há um par para cada um de 1,2,3,4,5,6 e nenhuma primeira coordenada se repete. Logo
\mathrm{Dom}(f)=\{1,2,3,4,5,6\}=A
e não há ambiguidade em f(x). Portanto, f é função de A em B.

Passo 3

As imagens de f são
\{b,d,e,f,a,d\} = \{a,b,d,e,f\}.
Como d ocorre duas vezes (de 2 e 6), f não é injetora. Além disso, falta c nas imagens, ou seja, f(A)\neq B, logo f não é sobrejetora.

Passo 4

A inversa como relação é
f^{-1} = \{(b,1),(d,2),(e,3),(f,4),(a,5),(d,6)\}.
Para ser função de B em A, cada elemento de B deve aparecer exatamente uma vez como primeira coordenada. Como d aparece duas vezes, f^{-1} não é função.

Resposta

f é função de A em B, mas não é injetora nem sobrejetora. A inversa f^{-1} não é função.

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