Em cada caso, verifique se f é função do conjunto A no conjunto B.
A=\{1,2,3,4,5,6\}, \quad B=\{a, b, c, d, e, f\} .
No caso em que f é função, diga se ela é injetora e/ou sobrejetora. Em cada caso, encontre f^{-1} e verifique se f^{-1} é ou não função.
f=\{(1, d),(2, b),(3, c),(4, a),(5, e),(6, a)\}

Passo 1

O enunciado dá A=\{1,2,3,4,5,6\}, B=\{a,b,c,d,e,f\} e a relação
f=\{(1,d),(2,b),(3,c),(4,a),(5,e),(6,a)\}.
Precisamos verificar se f é uma função A\to B; se for, checar injetividade e sobrejetividade; depois construir f^{-1} e ver se ele é função.

Passo 2

Para ser função de A em B, cada elemento de A deve aparecer exatamente uma vez como primeiro componente em cada par de f. Vemos que os seis elementos de A (1,2,3,4,5,6) aparecem uma única vez cada, e a cada um está associado um elemento de B. Logo, f é função.

Passo 3

Uma função é injetora se elementos distintos do domínio dão imagens distintas. Aqui
f(4)=a \quad\text{e}\quad f(6)=a,
logo dois elementos diferentes têm a mesma imagem. Assim, f não é injetora.

Passo 4

Uma função A\to B é sobrejetora se sua imagem é todo B. A imagem de f é
\{d,b,c,a,e\},
faltando o elemento f de B. Portanto f não é sobrejetora.

Passo 5

O inverso f^{-1} é obtido trocando os pares de f:
f^{-1}=\{(d,1),(b,2),(c,3),(a,4),(e,5),(a,6)\}.

Passo 6

Para f^{-1} ser função de B em A seria preciso que cada elemento de B aparecesse exatamente uma vez como primeiro componente. Aqui:
  • O elemento a\in B aparece duas vezes (em (a,4) e (a,6)), violando a unicidade.
  • O elemento f\in B nem aparece, violando a totalidade.
    Logo, f^{-1} não é função.

Resposta

f é função de A em B, mas não é injetora nem sobrejetora. f^{-1} não é função.

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