Em cada caso, verifique se f é função do conjunto A no conjunto B.
A=\{1,2,3,4,5,6\}, \quad B=\{a, b, c, d, e, f\} .
No caso em que f é função, diga se ela é injetora e/ou sobrejetora. Em cada caso, encontre f^{-1} e verifique se f^{-1} é ou não função.
f=\{(1, b),(2, c),(3, e),(4, f),(5, a),(6, d)\}

Passo 1

O enunciado dá os conjuntos \,A=\{1,2,3,4,5,6\}, \,B=\{a,b,c,d,e,f\}
e a relação
f = \{(1,b),(2,c),(3,e),(4,f),(5,a),(6,d)\}.
Precisamos verificar se f é função de A em B; em caso afirmativo, checar se é injetora e/ou sobrejetora; depois construir f^{-1} e ver se esta inversa é ou não função.

Passo 2

Para que f seja função de A em B, cada elemento de A deve aparecer exatamente uma vez como primeira coordenada em pares de f. Observamos que os elementos 1,2,3,4,5,6 aparecem uma vez cada, sem repetições nem faltas. Logo, f é função.

Passo 3

Para verificar injetividade, basta ver se todos os valores imagem são distintos. As imagens são \{b,c,e,f,a,d\}, todas diferentes, portanto f é injetora.
Para verificar sobrejetividade, conferimos se todo elemento de B aparece como imagem de algum elemento de A. Novamente vemos que cada a,b,c,d,e,f está presente, logo f é sobrejetora.
Concluímos que f é bijetora.

Passo 4

A relação inversa \,f^{-1} troca pares (x,y) em (y,x). Assim
f^{-1}=\{(b,1),(c,2),(e,3),(f,4),(a,5),(d,6)\}.

Passo 5

Para que f^{-1} seja função de B em A, cada elemento de B deve aparecer exatamente uma vez como primeira coordenada em pares de f^{-1}. Como b,c,e,f,a,d aparecem uma única vez cada, f^{-1} também é função. Além disso, segue sendo bijetora.

Resposta

f é função de A em B, injetora e sobrejetora (bijetora).
f^{-1}=\{(b,1),(c,2),(e,3),(f,4),(a,5),(d,6)\}
e f^{-1} é também função (bijetora) de B em A.

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