Seja o conjunto
S=\left\{n \in \omega ; 0+1+2+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}\right\} .
É verdade que S=\omega ?

Passo 1

O enunciado define
S = \{\,n\in\omega \mid 0+1+2+\cdots+n = \tfrac{n(n+1)}{2}\}
e pergunta se vale S=\omega. Para isso, vamos usar o Princípio da Indução Finita, pois queremos mostrar que toda potência natural satisfaz a fórmula da soma dos primeiros n inteiros.

Passo 2

Base da indução n=0.
O lado esquerdo é
0 = 0
e o lado direito é
\tfrac{0\,(0+1)}{2} = \tfrac{0}{2} = 0.
Logo 0+1+\cdots+0 = 0 = \tfrac{0\,(0+1)}{2}, portanto 0\in S.

Passo 3

Passo indutivo. Suponha que para um n\in\omega valha
0+1+2+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}\,.
Então para n+1 temos
0+1+\cdots+n+(n+1) = \bigl(0+1+\cdots+n\bigr) + (n+1) = \frac{n(n+1)}{2} + (n+1) = \frac{n(n+1) + 2(n+1)}{2} = \frac{(n+1)(n+2)}{2}\,.
Isto mostra que n+1\in S.

Passo 4

Como 0\in S e sempre que n\in S vale também n+1\in S, pelo Princípio da Indução Finita conclui-se que todos os n\in\omega pertencem a S. Portanto
S = \omega.

Resposta

Sim. S = \omega.

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