Seja o conjunto
. Prove que
.
Passo 1
O enunciado define
e pede para mostrar que
.
Conteúdo que vamos usar: a definição recursiva da soma em (axiomas de Peano) e o Princípio de Indução sobre
.
Conteúdo que vamos usar: a definição recursiva da soma em
Passo 2
Base da indução: mostrar que
.
Pela definição recursiva da soma temos
Pela definição recursiva da soma temos
e também
Logo
isto é,
.
Passo 3
Passo indutivo: suponha
, ou seja,
Preciso mostrar
, isto é,
Usando definição recursiva da soma,
enquanto
Pela hipótese indutiva
, portanto
e segue
Assim,
.
Passo 4
Pelo Princípio de Indução em
, como
e
, conclui-se que
.