Em cada caso, verifique se
é um homomorfismo.
G=\left(G L_{2}(\mathbb{Z}),+\right), J=(\mathbb{Z},+), f(X)=\operatorname{tr}(X)=) traço de
G=\left(G L_{2}(\mathbb{Z}),+\right), J=(\mathbb{Z},+), f(X)=\operatorname{tr}(X)=) traço de
Passo 1
O que o enunciado dá e o que ele pede:
- Dado
. - Dado
. - Definida
por , ou seja, é o traço de . - O enunciado pede: verificar se
é um homomorfismo de grupos (entre os grupos indicados).
Informações relevantes que podemos usar (vindas do enunciado / do significado dos objetos):
- Cada
é uma matriz com entradas inteiras. Então as entradas diagonais de são inteiras, e a soma delas (o traço) é um inteiro. - Para verificar que
é homomorfismo, precisamos checar a propriedade principal: para todos deve valer . Também é útil checar que a imagem de está realmente em (isto é, para todo ).
Passo 2
Definição e propriedade básica do traço (mini-aula): o traço de uma matriz
é a soma das entradas da diagonal principal. Se
então por definição
Aqui
porque
. Logo
. Isso mostra que
está bem definida como aplicação
(a imagem de cada elemento de
é um inteiro, elemento de
).]
Passo 3
Propriedade de aditividade do traço (mini-aula e demonstração): vamos provar que o traço é linear em relação à soma de matrizes, ou seja, que para quaisquer matrizes
e
vale
.
Sejam
com
. A soma
é
Pelo cálculo do traço,
Reagrupando os termos obtemos
Isso prova a propriedade aditiva do traço.]
Passo 4
Conclusão sobre homomorfismo (mini-aula sobre o que é um homomorfismo): uma aplicação entre dois grupos
e
é homomorfismo quando preserva a operação, isto é, quando para todos
vale
.
No nosso caso as operações são adição em ambos os grupos, então devemos ter, para todo
,
Pela demonstração do passo anterior sabemos que
. Assim para todos
vale
. Além disso já verificamos que
para todo
, então a aplicação é bem definida entre os conjuntos indicados.
Portanto
preserva a operação e é um homomorfismo de grupos.
Passo 5
Exemplo numérico rápido para fixar (pega a intuição): tome
Temos
,
. A soma é
e
. Observamos
, confirmando na prática a propriedade que provamos.]
Resposta
Sim,
é um homomorfismo (pois
para todos
).