Em cada caso, verifique se f: G \longrightarrow J é um homomorfismo.
G=\left(G L_{2}(\mathbb{Z}),+\right), J=(\mathbb{Z},+), f(X)=\operatorname{tr}(X)=) traço de X

Passo 1

O que o enunciado dá e o que ele pede:
  • Dado G=\bigl(GL_{2}(\mathbb{Z}),+\bigr).
  • Dado J=(\mathbb{Z},+).
  • Definida f:G\to J por f(X)=\operatorname{tr}(X), ou seja, f(X) é o traço de X.
  • O enunciado pede: verificar se f é um homomorfismo de grupos (entre os grupos indicados).
Informações relevantes que podemos usar (vindas do enunciado / do significado dos objetos):
  • Cada X\in GL_{2}(\mathbb{Z}) é uma matriz 2\times2 com entradas inteiras. Então as entradas diagonais de X são inteiras, e a soma delas (o traço) é um inteiro.
  • Para verificar que f é homomorfismo, precisamos checar a propriedade principal: para todos X,Y\in G deve valer f(X+Y)=f(X)+f(Y). Também é útil checar que a imagem de f está realmente em J (isto é, f(X)\in\mathbb{Z} para todo X).

Passo 2

Definição e propriedade básica do traço (mini-aula): o traço de uma matriz 2\times2 é a soma das entradas da diagonal principal. Se
X=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix},
então por definição
\operatorname{tr}(X)=a+d.
Aqui a,b,c,d\in\mathbb{Z} porque X\in GL_{2}(\mathbb{Z}). Logo \operatorname{tr}(X)\in\mathbb{Z}. Isso mostra que f está bem definida como aplicação G\to J (a imagem de cada elemento de G é um inteiro, elemento de J).]

Passo 3

Propriedade de aditividade do traço (mini-aula e demonstração): vamos provar que o traço é linear em relação à soma de matrizes, ou seja, que para quaisquer matrizes X e Y vale \operatorname{tr}(X+Y)=\operatorname{tr}(X)+\operatorname{tr}(Y).
Sejam
X=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix} \qquad\text{e}\qquad Y=\begin{pmatrix}e & f\\[4pt] g & h\end{pmatrix},
com a,b,c,d,e,f,g,h\in\mathbb{Z}. A soma X+Y é
X+Y=\begin{pmatrix}a+e & b+f\\[4pt] c+g & d+h\end{pmatrix}.
Pelo cálculo do traço,
\operatorname{tr}(X+Y)=(a+e)+(d+h).
Reagrupando os termos obtemos
\operatorname{tr}(X+Y)=a+d+e+h=(a+d)+(e+h)=\operatorname{tr}(X)+\operatorname{tr}(Y).
Isso prova a propriedade aditiva do traço.]

Passo 4

Conclusão sobre homomorfismo (mini-aula sobre o que é um homomorfismo): uma aplicação entre dois grupos \bigl(G,\ast\bigr) e \bigl(J,\diamond\bigr) é homomorfismo quando preserva a operação, isto é, quando para todos x,y\in G vale f(x\ast y)=f(x)\diamond f(y).
No nosso caso as operações são adição em ambos os grupos, então devemos ter, para todo X,Y\in G,
f(X+Y)=f(X)+f(Y).
Pela demonstração do passo anterior sabemos que \operatorname{tr}(X+Y)=\operatorname{tr}(X)+\operatorname{tr}(Y). Assim para todos X,Y\in G vale f(X+Y)=f(X)+f(Y). Além disso já verificamos que f(X)\in\mathbb{Z} para todo X, então a aplicação é bem definida entre os conjuntos indicados.
Portanto f preserva a operação e é um homomorfismo de grupos.

Passo 5

Exemplo numérico rápido para fixar (pega a intuição): tome
X=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] 3 & 4\end{pmatrix},\qquad Y=\begin{pmatrix}5 & 6\\[4pt] 7 & 8\end{pmatrix}.
Temos \operatorname{tr}(X)=1+4=5, \operatorname{tr}(Y)=5+8=13. A soma é
X+Y=\begin{pmatrix}6 & 8\\[4pt] 10 & 12\end{pmatrix},
e \operatorname{tr}(X+Y)=6+12=18. Observamos 18=5+13, confirmando na prática a propriedade que provamos.]

Resposta

Sim, f é um homomorfismo (pois \operatorname{tr}(X+Y)=\operatorname{tr}(X)+\operatorname{tr}(Y) para todos X,Y\in G).

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