Considere G=\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} com a seguinte operação de adição: (a, b)+(c, d)=(a+c, b+d). Mostre que f: G \longrightarrow G, f(x, y)=(0,3 x+5 y) é um homomorfismo, determine seu núcleo e dê alguns exemplos de elementos de \operatorname{ker}(f).

Passo 1

O enunciado dá o grupo G=\mathbb{Z}\times\mathbb{Z} com a operação de adição componente a componente:
(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d).
Define a aplicação f:G\longrightarrow G por
f(x,y)=(0,\,3x+5y).
As perguntas são:
  1. Mostrar que f é um homomorfismo (isto é, que preserva a operação de adição).
  2. Determinar o núcleo de f, \ker(f).
  3. Dar alguns exemplos de elementos que pertencem a \ker(f).

Passo 2

O que significa ser homomorfismo (em notação aditiva): uma aplicação f:G\to G é homomorfismo se, para todos (x_1,y_1),(x_2,y_2)\in G,
f\big((x_1,y_1)+(x_2,y_2)\big)=f(x_1,y_1)+f(x_2,y_2).
Também precisamos saber qual é o elemento neutro de G: é (0,0). O núcleo de f é definido como
\ker(f)=\{(x,y)\in G \mid f(x,y)=(0,0)\},
ou seja, o conjunto dos elementos que são levados para o neutro do grupo imagem.

Passo 3

Vamos verificar a propriedade do homomorfismo passo a passo. Tome quaisquer (x_1,y_1),(x_2,y_2)\in G. Primeiro computamos a soma em G:
(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,\;y_1+y_2).
Aplicando f a essa soma:
f(x_1+x_2,\;y_1+y_2) = \big(0,\;3(x_1+x_2)+5(y_1+y_2)\big).
Agora calcule f(x_1,y_1)+f(x_2,y_2) separadamente:
f(x_1,y_1)=(0,\,3x_1+5y_1),\qquad f(x_2,y_2)=(0,\,3x_2+5y_2).
Somando esses pares:
f(x_1,y_1)+f(x_2,y_2) = \big(0+0,\;(3x_1+5y_1)+(3x_2+5y_2)\big) = \big(0,\;3(x_1+x_2)+5(y_1+y_2)\big).
As duas expressões coincidem, portanto, para todos os (x_1,y_1),(x_2,y_2) vale
f\big((x_1,y_1)+(x_2,y_2)\big)=f(x_1,y_1)+f(x_2,y_2).
Logo f é um homomorfismo.

Passo 4

Agora vamos achar o núcleo. Precisamos resolver a condição f(x,y)=(0,0). Pela definição de f isso é equivalente a
(0,\,3x+5y)=(0,0).
Comparando coordenadas obtemos a equação inteira
3x+5y=0.
Então \ker(f)=\{(x,y)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\mid 3x+5y=0\}.

Passo 5

Resolvendo a equação diofantina 3x+5y=0 em inteiros. Podemos rearranjar:
3x=-5y.
Observe que \gcd(3,5)=1. Da igualdade 3x=-5y segue que 3 divide 5y. Como \gcd(3,5)=1, isto implica que 3 divide y. Portanto existe t\in\mathbb{Z} tal que y=3t. Substituindo em 3x=-5y obtemos
3x=-5(3t)=-15t,
logo x=-5t. Assim todos os pares da forma (-5t,3t) satisfazem a equação, e qualquer solução inteira tem essa forma. Portanto
\ker(f)=\{(-5t,\,3t)\mid t\in\mathbb{Z}\}.

Passo 6

Interpretação e propriedade do núcleo: o conjunto \{(-5t,3t)\mid t\in\mathbb{Z}\} é um subgrupo de G gerado por (-5,3). Em linguagem simples, o núcleo é a reta discreta (ou o subgrupo cíclico) formada por múltiplos inteiros do vetor (-5,3). Como \ker(f) contém além de (0,0) outros elementos, isto também mostra que f não é injetora.

Passo 7

Alguns exemplos concretos (pegos da parametrização com valores pequenos de t):
t=0:\\ (0,0).
t=1:\\ (-5,3).
t=-1:\\ (5,-3).
t=2:\\ (-10,6).
Todos esses pertencem a \ker(f) porque satisfazem 3x+5y=0.

Resposta

f é homomorfismo.
\ker(f)=\{(-5t,\,3t)\mid t\in\mathbb{Z}\}.
Exemplos: (0,0),\\ (-5,3),\\ (5,-3),\\ (-10,6).

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