Considere
com a seguinte operação de adição:
. Mostre que
é um homomorfismo, determine seu núcleo e dê alguns exemplos de elementos de
.
Passo 1
O enunciado dá o grupo
com a operação de adição componente a componente:
Define a aplicação
por
As perguntas são:
- Mostrar que
é um homomorfismo (isto é, que preserva a operação de adição). - Determinar o núcleo de
, . - Dar alguns exemplos de elementos que pertencem a
.
Passo 2
O que significa ser homomorfismo (em notação aditiva): uma aplicação
é homomorfismo se, para todos
,
Também precisamos saber qual é o elemento neutro de
: é
. O núcleo de
é definido como
ou seja, o conjunto dos elementos que são levados para o neutro do grupo imagem.
Passo 3
Vamos verificar a propriedade do homomorfismo passo a passo. Tome quaisquer
. Primeiro computamos a soma em
:
Aplicando
a essa soma:
Agora calcule
separadamente:
Somando esses pares:
As duas expressões coincidem, portanto, para todos os
vale
Logo
é um homomorfismo.
Passo 4
Agora vamos achar o núcleo. Precisamos resolver a condição
. Pela definição de
isso é equivalente a
Comparando coordenadas obtemos a equação inteira
Então
.
Passo 5
Resolvendo a equação diofantina
em inteiros. Podemos rearranjar:
Observe que
. Da igualdade
segue que
divide
. Como
, isto implica que
divide
. Portanto existe
tal que
. Substituindo em
obtemos
logo
. Assim todos os pares da forma
satisfazem a equação, e qualquer solução inteira tem essa forma. Portanto
Passo 6
Interpretação e propriedade do núcleo: o conjunto
é um subgrupo de
gerado por
. Em linguagem simples, o núcleo é a reta discreta (ou o subgrupo cíclico) formada por múltiplos inteiros do vetor
. Como
contém além de
outros elementos, isto também mostra que
não é injetora.
Passo 7
Alguns exemplos concretos (pegos da parametrização com valores pequenos de
):
Todos esses pertencem a
porque satisfazem
.
Resposta
Exemplos: