Em cada caso, verifique se
é um homomorfismo.
Passo 1
O enunciado pede que verifiquemos se
é um homomorfismo nos casos dados. Dados fornecidos:
Ou seja, o domínio e o contradomínio são os números reais com a operação multiplicação e a função manda cada real para seu valor absoluto. A pergunta concreta é: a função
preserva a operação multiplicação? (isto é, vale
para todos
?)
Passo 2
Vou lembrar (de maneira informal e clara) qual é a condição que precisamos checar. Para estruturas com uma operação binária
(como aqui), dizer que
é homomorfismo significa que, para todos
do domínio,
No nosso caso a operação é a multiplicação usual, então devemos verificar
Passo 3
Apresento uma propriedade básica do valor absoluto que vamos usar muitas vezes:
Agora explico por que isso é verdadeiro de forma bem direta. Uma demonstração simples usa quadrados e a raiz quadrada:
Multiplicando,
Cada passo é permitido: produto de raízes não-negativas é raiz do produto,
, e por definição
. Se preferir pensar por casos (sinais positivos/negativos), dá no mesmo — a propriedade continua válida.
Passo 4
Agora aplico a propriedade diretamente à condição de homomorfismo. Para todo
:
Portanto a igualdade exigida para homomorfismo é satisfeita para todos
.
Passo 5
Comentário adicional útil para a prova: sempre que a estrutura for um monóide (tem identidade), é bom checar se a identidade é levada na identidade. Aqui a identidade multiplicativa é
. Verificamos:
ou seja, a identidade é preservada.
Passo 6
Observações extras (úteis para entender natureza da aplicação):
- A função não é injetora, porque por exemplo
e e . - A imagem de
é o conjunto , portanto não é sobrejetora em (não alcança números negativos). - O “núcleo” (pré-imagem da identidade
) é
Essas informações não eram obrigatórias, mas ajudam a caracterizar completamente o tipo de homomorfismo que
é.
Resposta
Sim,
é um homomorfismo.