Em cada caso, verifique se f: G \longrightarrow J é um homomorfismo.
G=(\mathbb{R}, \cdot), J=(\mathbb{R}, \cdot), f(x)=|x|

Passo 1

O enunciado pede que verifiquemos se f: G \longrightarrow J é um homomorfismo nos casos dados. Dados fornecidos:
G = (\mathbb{R}, \cdot),\qquad J = (\mathbb{R}, \cdot),\qquad f(x)=|x|.
Ou seja, o domínio e o contradomínio são os números reais com a operação multiplicação e a função manda cada real para seu valor absoluto. A pergunta concreta é: a função f preserva a operação multiplicação? (isto é, vale f(xy)=f(x)f(y) para todos x,y\in\mathbb{R} ?)

Passo 2

Vou lembrar (de maneira informal e clara) qual é a condição que precisamos checar. Para estruturas com uma operação binária \cdot (como aqui), dizer que f é homomorfismo significa que, para todos x,y do domínio,
f(x\cdot y)=f(x)\cdot f(y).
No nosso caso a operação é a multiplicação usual, então devemos verificar
f(xy)=f(x)f(y)\quad\text{para todo }x,y\in\mathbb{R}.

Passo 3

Apresento uma propriedade básica do valor absoluto que vamos usar muitas vezes:
|xy| = |x|\,|y|\quad\text{para todo }x,y\in\mathbb{R}.
Agora explico por que isso é verdadeiro de forma bem direta. Uma demonstração simples usa quadrados e a raiz quadrada:
|x|=\sqrt{x^{2}},\qquad |y|=\sqrt{y^{2}}.
Multiplicando,
|x|\,|y|=\sqrt{x^{2}}\sqrt{y^{2}}=\sqrt{x^{2}y^{2}}=\sqrt{(xy)^{2}}=|xy|.
Cada passo é permitido: produto de raízes não-negativas é raiz do produto, x^{2}y^{2}=(xy)^{2}, e por definição \sqrt{(xy)^{2}}=|xy|. Se preferir pensar por casos (sinais positivos/negativos), dá no mesmo — a propriedade continua válida.

Passo 4

Agora aplico a propriedade diretamente à condição de homomorfismo. Para todo x,y\in\mathbb{R}:
f(xy)=|xy| = |x|\,|y| = f(x)f(y).
Portanto a igualdade exigida para homomorfismo é satisfeita para todos x,y.

Passo 5

Comentário adicional útil para a prova: sempre que a estrutura for um monóide (tem identidade), é bom checar se a identidade é levada na identidade. Aqui a identidade multiplicativa é 1. Verificamos:
f(1)=|1|=1,
ou seja, a identidade é preservada.

Passo 6

Observações extras (úteis para entender natureza da aplicação):
  • A função não é injetora, porque por exemplo f(1)=|1|=1 e f(-1)=|-1|=1 e 1\neq -1.
  • A imagem de f é o conjunto [0,\infty), portanto f não é sobrejetora em \mathbb{R} (não alcança números negativos).
  • O “núcleo” (pré-imagem da identidade 1) é
\{x\in\mathbb{R}\mid f(x)=1\}=\{-1,1\}.
Essas informações não eram obrigatórias, mas ajudam a caracterizar completamente o tipo de homomorfismo que f é.

Resposta

Sim, f é um homomorfismo.

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