Em cada caso, verifique se f: G \longrightarrow J é um homomorfismo.
G=(\mathbb{R} \times \mathbb{R},+), J=(\mathbb{R},+), f(x, y)=4 x-5 y

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma verificação:
  • Domínio G = (\mathbb{R}\times\mathbb{R},+).
  • Contradomínio J = (\mathbb{R},+).
  • Aplicação f definida por f(x,y)=4x-5y para (x,y)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}.
  • Pergunta: verificar se f é um homomorfismo (isto é, se preserva a operação de adição).

Passo 2

Definição (explicada de modo simples): dizer que f é um homomorfismo entre os grupos aditivos significa que, para quaisquer elementos u,v em G, vale
f(u+v)=f(u)+f(v).
Aqui, como G é \mathbb{R}\times\mathbb{R} com adição componente a componente, se u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2) então
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2).
Eu vou testar a igualdade da definição para elementos genéricos (x_1,y_1) e (x_2,y_2).

Passo 3

Calculo do lado esquerdo f(u+v). Primeiro escrevo a soma em G:
(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,\;y_1+y_2).
Agora aplico f a essa soma:
f\big((x_1,y_1)+(x_2,y_2)\big)=f(x_1+x_2,\;y_1+y_2).
Pelo enunciado,
f(x_1+x_2,\;y_1+y_2)=4(x_1+x_2)-5(y_1+y_2).

Passo 4

Agora desenvolvo a expressão do passo anterior para ver se se separa em duas partes:
4(x_1+x_2)-5(y_1+y_2)=4x_1+4x_2-5y_1-5y_2.
Agrupando os termos correspondentes:
4x_1+4x_2-5y_1-5y_2=(4x_1-5y_1)+(4x_2-5y_2).

Passo 5

Observe que cada parcela agrupada é exatamente a aplicação f nos elementos:
(4x_1-5y_1)=f(x_1,y_1)\quad\text{e}\quad(4x_2-5y_2)=f(x_2,y_2).
Logo
f\big((x_1,y_1)+(x_2,y_2)\big)=f(x_1,y_1)+f(x_2,y_2).
Como x_1,y_1,x_2,y_2 eram arbitrários, a igualdade vale para todos os pares em G. Portanto f preserva a adição e é um homomorfismo.

Passo 6

Complemento didático (útil para a prova): verifiquei também propriedades que costumam aparecer juntas com homomorfismos.
  • Imagem: para qualquer t\in\mathbb{R} posso escolher (x,y)=(t/4,0). Então
f(t/4,0)=4\cdot(t/4)-5\cdot 0 = t,
logo a imagem de f é todo \mathbb{R} (isto é, f é sobrejetora).
  • Núcleo: \ker(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 4x-5y=0\}. Isso equivale à reta y=\tfrac{4}{5}x. Por exemplo (5,4)\in\ker(f) e é não-nulo, portanto f não é injetora.
Esses fatos ajudam a entender o tipo de mapa que f é: é um homomorfismo linear sobrejetor com núcleo de dimensão 1.

Resposta

Sim, f é um homomorfismo (isto é, preserva a adição).

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