Em cada caso, verifique se
é um homomorfismo.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma verificação:
- Domínio
. - Contradomínio
. - Aplicação
definida por para . - Pergunta: verificar se
é um homomorfismo (isto é, se preserva a operação de adição).
Passo 2
Definição (explicada de modo simples): dizer que
é um homomorfismo entre os grupos aditivos significa que, para quaisquer elementos
em
, vale
Aqui, como
é
com adição componente a componente, se
e
então
Eu vou testar a igualdade da definição para elementos genéricos
e
.
Passo 3
Calculo do lado esquerdo
. Primeiro escrevo a soma em
:
Agora aplico
a essa soma:
Pelo enunciado,
Passo 4
Agora desenvolvo a expressão do passo anterior para ver se se separa em duas partes:
Agrupando os termos correspondentes:
Passo 5
Observe que cada parcela agrupada é exatamente a aplicação
nos elementos:
Logo
Como
eram arbitrários, a igualdade vale para todos os pares em
. Portanto
preserva a adição e é um homomorfismo.
Passo 6
Complemento didático (útil para a prova): verifiquei também propriedades que costumam aparecer juntas com homomorfismos.
- Imagem: para qualquer
posso escolher . Então
logo a imagem de
é todo
(isto é,
é sobrejetora).
- Núcleo:
. Isso equivale à reta . Por exemplo e é não-nulo, portanto não é injetora.
Esses fatos ajudam a entender o tipo de mapa que
é: é um homomorfismo linear sobrejetor com núcleo de dimensão
.
Resposta
Sim,
é um homomorfismo (isto é, preserva a adição).