Determine uma base ortonormal de \mathbb{R}^{2} composta por autovetores de A.
Passo 1
O enunciado dá explicitamente a matriz simétrica
A=\begin{pmatrix}1 & 3\\[4pt]3 & 1\end{pmatrix}
e pede uma base ortonormal de \mathbb{R}^{2} composta por autovetores de A.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A matriz A tem entradas a_{11}=1, a_{12}=3, a_{21}=3, a_{22}=1.
Queremos encontrar vetores v\in\mathbb{R}^{2} tais que A v=\lambda v (ou seja, autovetores) e, além disso, normalizá‑los e garantir que entre si sejam ortogonais (base ortonormal).
O que será entregue ao final:
Dois vetores unitários e mutuamente ortogonais que são autovetores de A, formando uma base ortonormal de \mathbb{R}^2.]
Passo 2
Explicação curta do método que vou usar (sem assumir que você já saiba): para encontrar autovetores e autovalores resolvemos a equação característica \det(A-\lambda I)=0. Aqui \lambda é o número que multiplica o autovetor e I é a matriz identidade. A equação característica fornece os autovalores; para cada autovalor \lambda achamos os vetores não nulos v que satisfazem (A-\lambda I)v=0.
Vou calcular a equação característica de A. Calculo o determinante:
Isso é uma equação quadrática. Para resolver uma quadrática \lambda^2+b\lambda+c=0 usamos a fórmula de Bhaskara (ou fatoração se for simples). Aqui dá para fatorar:
\lambda^2-2\lambda-8=(\lambda-4)(\lambda+2).
Portanto, os autovalores são
\lambda_1=4\quad\text{e}\quad \lambda_2=-2.
Passo 4
Agora, para cada autovalor \lambda encontramos os autovetores resolvendo (A-\lambda I)v=0.
Portanto, os autovetores associados a \lambda_1=4 são todos os múltiplos escalares de \begin{pmatrix}1\\[2pt]1\end{pmatrix}. Posso escolher como representante v_1=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\end{pmatrix}.]
Assim, os autovetores associados a \lambda_2=-2 são todos os múltiplos de \begin{pmatrix}1\\[2pt]-1\end{pmatrix}. Posso escolher v_2=\begin{pmatrix}1\\[2pt]-1\end{pmatrix}.]
Passo 6
Agora precisamos de uma base ortonormal: isso exige que os vetores sejam ortogonais entre si e tenham norma 1. Primeiro verifico que v_1 e v_2 são ortogonais usando o produto escalar padrão em \mathbb{R}^2: para u=(u_1,u_2) e w=(w_1,w_2), o produto escalar é u_1w_1+u_2w_2.
Resumo e verificação rápida: u_1 e u_2 são unitários (norma 1) e ortogonais entre si (produto escalar 0), portanto formam uma base ortonormal de \mathbb{R}^2. Além disso, são múltiplos dos autovetores encontrados, logo são autovetores de A (com autovalores \lambda_1=4 e \lambda_2=-2, respectivamente). Você pode trocar o sinal de qualquer um deles (por exemplo, -u_1 também serve), isso não altera a ortonormalidade.