é diagonalizável. Caso seja, apresentar a matriz diagonal D e a matriz de mudança de base P.
Informações dadas:
A matriz A está explícita acima (peguei seus coeficientes do enunciado).
A tarefa tem duas perguntas implícitas: (i) determinar se A é diagonalizável; (ii) se for, fornecer D e P.]
Passo 2
O que significa “diagonalizável” e o método que vamos usar (passo-a-passo):
Uma matriz A é diagonalizável se existir uma matriz invertível P tal que
P^{-1}AP=D,
onde D é diagonal. Equivalente e mais prático para trabalhar: existe uma base formada por autovetores de A. Na prática, o procedimento é:
Calcular os autovalores (valores próprios) de A resolvendo \det(A-\lambda I)=0.
Para cada autovalor \lambda, achar os autovetores (não-nulos) resolvendo (A-\lambda I)x=0.
Se conseguirmos 3 autovetores linearmente independentes (pois a matriz é 3\times3), então A é diagonalizável. Montamos P com esses autovetores como colunas e D com os autovalores na mesma ordem.
Vou aplicar esse método passo a passo, explicando as contas.
Passo 3
Calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I).
Os autovalores (raízes) são \lambda=0,\; \lambda=1,\; \lambda=2. Todos distintos.
Comentário importante (teórico): quando uma matriz n\times n tem n autovalores distintos no corpo (aqui \mathbb{R}), então ela é diagonalizável — porque autovalores distintos garantem autovetores linearmente independentes. Ainda assim vou calcular explicitamente os autovetores para construir P e D.]
Passo 4
Encontrar os autovetores para cada autovalor.
(i) Autovalor \lambda=0\). Resolver \(A x = 0\), isto é \((A-0I)x=0\).
Sistema:
\[\begin{cases} x_1=0,\\[4pt] x_2+x_3=0,\\[4pt] x_2+x_3=0. \end{cases}
As duas últimas equações são iguais. Da primeira vem x_1=0\]. Da segunda vem \[x_3=-x_2. Logo os autovetores são da forma
x = \begin{pmatrix}0\\[4pt] t\\[4pt] -t\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]-1\end{pmatrix},\qquad t\neq0.
onde as entradas diagonais de D correspondem, na mesma ordem, aos autovalores \,1,\,0,\,2.
Para garantir que P é invertível (portanto as colunas são independentes), calculemos seu determinante (ou observe que as três colunas não são múltiplos entre si). O determinante de P é
Como \det(P)\neq0, P é invertível e as colunas formam uma base de autovetores. Assim A é diagonalizável e satisfa-se P^{-1}AP=D. (Em termos operacionais: Av_i=\lambda_i v_i para cada coluna v_i, então AP=PD.)]
Passo 6
Conclusão: A é diagonalizável. As matrizes P e D acima diagonalizam A.