- Em cada caso, verifique que a função que estende o
-ésimo termo da série satisfaz às hipóteses do Critério da Integral e em seguida determine a natureza da série.
(a)
(a)
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos a série
. O conteúdo estudado é o Critério da Integral, que diz que, se a função que estende o termo geral for positiva, contínua e decrescente em
, então a série e a integral imprópria correspondentes convergem ou divergem juntas. Vamos usar esse critério para decidir a natureza da série.
Passo 2
Definimos a função de extensão
Verificamos as hipóteses do Critério da Integral:
- Positividade:
pois e para . - Continuidade:
é contínua em , já que o denominador nunca se anula. - Monotonia: calculando a derivada,
logo
é decrescente.
Passo 3
Calculamos a integral imprópria:
Fazendo a substituição
(então
), os limites vão de
a
. Assim,
Passo 4
Como a integral imprópria converge, o Critério da Integral garante que a série
converge.
Resposta
A série converge.