1. Em cada caso, verifique que a função que estende o n-ésimo termo da série satisfaz às hipóteses do Critério da Integral e em seguida determine a natureza da série.
    (a) sumn=3^infty 3n(ln n)^2

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos a série sumn=3^infty3n(ln n)^2. O conteúdo estudado é o Critério da Integral, que diz que, se a função que estende o termo geral for positiva, contínua e decrescente em [3,infty), então a série e a integral imprópria correspondentes convergem ou divergem juntas. Vamos usar esse critério para decidir a natureza da série.

Passo 2

Definimos a função de extensão
f(x)=3x(ln x)^2, x>=3
Verificamos as hipóteses do Critério da Integral:
  • Positividade: f(x)>0 pois x>0 e ln x>0 para x>=3.
  • Continuidade: f é contínua em [3,infty), já que o denominador nunca se anula.
  • Monotonia: calculando a derivada,
f'(x)=ddxl(3x^-1(ln x)^-2r)=-31+2/ln xx(ln x)^2<0(forall x>=3),
logo f é decrescente.

Passo 3

Calculamos a integral imprópria:
integral3^infty3x(ln x)^2,dx
Fazendo a substituição t=ln x (então dt=dx/x), os limites vão de t=ln3 a ttoinfty. Assim,
integral3^infty3x(ln x)^2,dx=3integralln3^inftyt^-2,dt=3l[-t^-1r]ln3^infty=3l[0-(-1/ln3)r]=3ln3

Passo 4

Como a integral imprópria converge, o Critério da Integral garante que a série
sumn=3^infty3n(ln n)^2
converge.

Resposta

A série converge.

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