Calcule as seguintes integrais duplas, esboçando os domínios de integração:
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Resposta:
Passo 1
Vamos resumir o que precisamos fazer. Temos que calcular a integral dupla:
Estamos lidando com cálculo de integrais duplas, que envolvem integrar uma função de duas variáveis sobre uma região específica no plano. Para resolver, vamos precisar entender a ordem de integração e como calcular integrais iteradas.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar em relação a $ y $, mantendo $ x $ constante. Ou seja, vamos resolver a integral interna:
Para isso, vamos fazer uma substituição. Deixe $ u = y / x $, então $ du = (1/x) dy $, ou seja, $ dy = x , du $.
Passo 3
Alterando os limites de integração para $ u $:
Quando $ y = x^{3} $, então $ u = x^{3} / x = x^{2} $.
Quando $ y = x $, então $ u = x / x = 1 $.
Agora, substituímos na integral:
Passo 4
Calculando a integral de $ e^{u} $:
Passo 5
Agora, substituímos a integral interna na integral externa:
Passo 6
Vamos resolver cada uma das integrais separadamente.
Primeira integral:
Segunda integral:
Fazendo substituição $ u = x^{2} $, então $ du = 2x , dx $, ou $ x , dx = \frac{du}{2} $.
Passo 7
Substituindo na integral:
Passo 8
Agora, juntando as duas partes: