Calcule as seguintes integrais duplas, esboçando os domínios de integração:
  • integral1^2 integralx^3^x e^y / x d y d x Resposta: 1 / 2(4 e-e^4)

Passo 1

Vamos resumir o que precisamos fazer. Temos que calcular a integral dupla:
integral1^2 integralx^3^x e^y / x , dy , dx
Estamos lidando com cálculo de integrais duplas, que envolvem integrar uma função de duas variáveis sobre uma região específica no plano. Para resolver, vamos precisar entender a ordem de integração e como calcular integrais iteradas.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a $ y $, mantendo $ x $ constante. Ou seja, vamos resolver a integral interna:
y
Para isso, vamos fazer uma substituição. Deixe $ u = y / x $, então $ du = (1/x) dy $, ou seja, $ dy = x , du $.

Passo 3

Alterando os limites de integração para $ u $:
Quando $ y = x^{3} $, então $ u = x^{3} / x = x^{2} $.
Quando $ y = x $, então $ u = x / x = 1 $.
Agora, substituímos na integral:
u

Passo 4

Calculando a integral de $ e^{u} $:
e^u

Passo 5

Agora, substituímos a integral interna na integral externa:
integral1^2 x ( e - e^x^2 ) , dx = e integral1^2 x , dx - integral1^2 x e^x^2 , dx

Passo 6

Vamos resolver cada uma das integrais separadamente.
Primeira integral:
e integral1^2 x , dx = e [ x^22 ]1^2 = e ( 42 - 12 ) = e cdot 32
Segunda integral:
integral1^2 x e^x^2 , dx
Fazendo substituição $ u = x^{2} $, então $ du = 2x , dx $, ou $ x , dx = \frac{du}{2} $.

Passo 7

Substituindo na integral:
integral1^2 x e^x^2 , dx = 12 integral1^4 e^u , du = 12 [ e^u ]1^4 = 12 ( e^4 - e )

Passo 8

Agora, juntando as duas partes:
e cdot 32 - 12 ( e^4 - e ) = 3e2 - e^42 + e2 = 4e - e^42 = 12 ( 4e - e^4 )

Resposta

12 ( 4 e - e^4 )

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