Calcule as seguintes integrais duplas, esboçando os domínios de integração:
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que o exercício propôs. O enunciado é calcular a integral dupla . Essa questão está ligada ao conteúdo de cálculo integral, especificamente integrais duplas, que servem para calcular volumes sob superfícies ou áreas em regiões específicas. Para resolver, vamos precisar entender bem os limites de integração e aplicar as regras de integração passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites de integração. A integral está escrita como . Isso significa que varia de 0 a 2, e para cada valor de , varia de a . Visualizar esse domínio é importante para entender a região sobre a qual estamos integrando.
Passo 3
Vamos esboçar o domínio de integração. Temos entre e , e entre 0 e 2. Se plotarmos essas curvas no plano , é uma parábola que abre para a direita, e é uma linha reta. A interseção dessas duas curvas ocorre quando , ou seja, e . Assim, a região de integração está entre essas duas curvas, do ao .
Passo 4
Agora, vamos começar a calcular a integral interna, que é em relação a . A função a integrar é . Integrando em relação a de a :
Passo 5
Vamos calcular essa integral. A integral de em relação a é , e a integral de em relação a é . Então: