Calcule as seguintes integrais duplas, esboçando os domínios de integração:
  • integral0^2 integraly^2^2 y(4 x-y) d x d y Resposta: 36 / 5

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que o exercício propôs. O enunciado é calcular a integral dupla integral0^2 integraly^2^2 y(4 x - y) , dx , dy. Essa questão está ligada ao conteúdo de cálculo integral, especificamente integrais duplas, que servem para calcular volumes sob superfícies ou áreas em regiões específicas. Para resolver, vamos precisar entender bem os limites de integração e aplicar as regras de integração passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração. A integral está escrita como integral0^2 integraly^2^2 y. Isso significa que y varia de 0 a 2, e para cada valor de y, x varia de y^2 a 2y. Visualizar esse domínio é importante para entender a região sobre a qual estamos integrando.

Passo 3

Vamos esboçar o domínio de integração. Temos x entre y^2 e 2y, e y entre 0 e 2. Se plotarmos essas curvas no plano xy, x = y^2 é uma parábola que abre para a direita, e x = 2y é uma linha reta. A interseção dessas duas curvas ocorre quando y^2 = 2y, ou seja, y = 0 e y = 2. Assim, a região de integração está entre essas duas curvas, do y = 0 ao y = 2.

Passo 4

Agora, vamos começar a calcular a integral interna, que é em relação a x. A função a integrar é (4x - y). Integrando em relação a x de y^2 a 2y:
integraly^2^2y (4x - y) , dx

Passo 5

Vamos calcular essa integral. A integral de 4x em relação a x é 2x^2, e a integral de -y em relação a x é -y x. Então:
2x^2 - yx |y^2^2y

Passo 6

Agora, substituímos os limites de integração:
Para x = 2y:
2(2y)^2 - y(2y) = 2 cdot 4y^2 - 2y^2 = 8y^2 - 2y^2 = 6y^2
Para x = y^2:
2(y^2)^2 - y(y^2) = 2y^4 - y^3
Então, a diferença é:
6y^2 - (2y^4 - y^3) = 6y^2 - 2y^4 + y^3

Passo 7

Agora, substituímos esse resultado na integral externa, que é em relação a y:
integral0^2 (6y^2 - 2y^4 + y^3) , dy

Passo 8

Vamos integrar cada termo separadamente:
  • A integral de 6y^2 é 2y^3.
  • A integral de -2y^4 é -25y^5.
  • A integral de y^3 é 14y^4.
Então:
2y^3 - 25y^5 + 14y^4 |0^2

Passo 9

Agora, substituímos os limites de integração:
Para y = 2:
2(2)^3 - 25(2)^5 + 14(2)^4 = 2 cdot 8 - 25 cdot 32 + 14 cdot 16 = 16 - 645 + 4 = 20 - 645 = 1005 - 645 = 365
Para y = 0, todos os termos são zero.

Resposta

A integral dupla vale boxeddfrac365.

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