Exercício 3

Suponha que o campo de forças: F(x, y)=(y^2+2 x+4) i+(2 x y+4 y-5) j, mova uma partícula da origem ao ponto (1,1). A integral não depende do caminho, sendo assim calcule a integral do campo em qualquer caminho.

Passo 1

O enunciado dá o campo de forças
F(x,y) = l(y^2 + 2x + 4r),i + l(2xy + 4y - 5r),j
e diz que a integral de linha de F de (0,0) a (1,1) independe do caminho. Isso significa que F é um campo conservativo e podemos resolver a integral encontrando uma função potencial phi(x,y) tal que
partial phipartial x = y^2 + 2x + 4, partial phipartial y = 2xy + 4y - 5

Passo 2

Para confirmar que F é conservativo, calculamos as derivadas mistas:
partialpartial yl(y^2 + 2x + 4r) = 2y, partialpartial xl(2xy + 4y - 5r) = 2y
Como são iguais, F é de fato um gradiente.

Passo 3

Construímos a função potencial phi. Integramos partial phi/partial x em relação a x:
phi(x,y) = integral l(y^2 + 2x + 4r),dx = xy^2 + x^2 + 4x + g(y),
onde g(y) é função a determinar. Agora impomos
partial phipartial y = 2xy + g'(y) stackrel!= 2xy + 4y - 5 implies g'(y) = 4y - 5
Integrando g'(y), obtemos
g(y) = 2y^2 - 5y + C
Logo uma potencial válida (selecionando C=0) é
phi(x,y) = x^2 + xy^2 + 4x + 2y^2 - 5y

Passo 4

Como a linha independe do caminho, a integral de F de (0,0) a (1,1) vale
phi(1,1) - phi(0,0) = l(1^2 + 1cdot1^2 + 4cdot1 + 2cdot1^2 - 5cdot1r) - 0 = 1 + 1 + 4 + 2 - 5 = 3

Resposta

O valor da integral do campo é 3.

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