Exercício 3
Suponha que o campo de forças:
, mova uma partícula da origem ao ponto
. A integral não depende do caminho, sendo assim calcule a integral do campo em qualquer caminho.
Passo 1
O enunciado dá o campo de forças
e diz que a integral de linha de
de
a
independe do caminho. Isso significa que
é um campo conservativo e podemos resolver a integral encontrando uma função potencial
tal que
Passo 2
Para confirmar que
é conservativo, calculamos as derivadas mistas:
Como são iguais,
é de fato um gradiente.
Passo 3
Construímos a função potencial
. Integramos
em relação a
:
onde
é função a determinar. Agora impomos
Integrando
, obtemos
Logo uma potencial válida (selecionando
) é
Passo 4
Como a linha independe do caminho, a integral de
de
a
vale
Resposta
O valor da integral do campo é
.