Em cada caso, verifique que as funções dadas são soluções LI da edo indicada e determine a solução geral.
y1(x)=e^x, y2(x)=e^-x e y3(x)=e^2 x; y^(6)-5 y^(4)+16 y^prime prime prime+36 y^prime prime-16 y^prime-32 y=0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que
,y1(x)=e^x, ,y2(x)=e^-x e ,y3(x)=e^2x
são soluções linearmente independentes da equação
y^(6)-5,y^(4)+16,y^(3)+36,y''-16,y'-32,y=0,
que é uma EDO linear homogênea de coeficientes constantes, e então determinar a solução geral.

Passo 2

Para uma EDO de coeficientes constantes, usamos o ansatz
y(x)=e^r x,
o que leva ao polinômio característico
P(r)=r^6-5r^4+16r^3+36r^2-16r-32

Passo 3

Substituindo r=1,-1,2 em P(r) obtemos
P(1)=1-5+16+36-16-32=0,
P(-1)=1-5-16+36+16-32=0,
P(2)=64-5cdot16+16cdot8+36cdot4-16cdot2-32=0
Logo r=1, r=-1 e r=2 são raízes; isto mostra que e^x, e^-x e e^2x anulam a EDO. Como esses três expoentes são distintos, o Wronskiano
W(y1,y2,y3)(x)neq0 e elas são linearmente independentes.

Passo 4

Agora dividimos P(r) sucessivamente pelos fatores (r-1) e (r+1). Após a primeira divisão obtemos um quíntico, e na segunda um polinômio de grau 4, digamos
Q(r)=r^4-4r^2+16r+32

Passo 5

Fatoramos Q(r) em dois quadráticos:
r^4-4r^2+16r+32=(r^2+4r+4),(r^2-4r+8)
Dessa forma as raízes extras são
,r^2+4r+4=0implies r=-2 (dupla)
e
,r^2-4r+8=0implies r=2pm2,i

Passo 6

Reunindo todas as raízes temos seis soluções fundamentais:
e^x, e^-x, e^-2x, x,e^-2x, e^2xcos(2x), e^2xsin(2x)
Logo a solução geral é combinação linear dessas seis.

Resposta

A solução geral da EDO é
y(x)=C1e^x+C2e^-x+C3e^-2x+C4,x,e^-2x +e^2xl(C5cos(2x)+C6sin(2x)r),
com C1,dots,C6 constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados