Em cada caso, verifique que as funções dadas são soluções LI da edo indicada e determine a solução geral.
e
;
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar que
,
e
são soluções linearmente independentes da equação
são soluções linearmente independentes da equação
que é uma EDO linear homogênea de coeficientes constantes, e então determinar a solução geral.
Passo 2
Para uma EDO de coeficientes constantes, usamos o ansatz
o que leva ao polinômio característico
Passo 3
Substituindo
em
obtemos
Logo
,
e
são raízes; isto mostra que
,
e
anulam a EDO. Como esses três expoentes são distintos, o Wronskiano
e elas são linearmente independentes.
Passo 4
Agora dividimos
sucessivamente pelos fatores
e
. Após a primeira divisão obtemos um quíntico, e na segunda um polinômio de grau 4, digamos
Passo 5
Fatoramos
em dois quadráticos:
Dessa forma as raízes extras são
(dupla)
e
e
Passo 6
Reunindo todas as raízes temos seis soluções fundamentais:
Logo a solução geral é combinação linear dessas seis.
Resposta
A solução geral da EDO é
com
constantes arbitrárias.