Mostre que a equação 3 x+2 cdot cos x+5=0 tem exatamente uma raiz real.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação
,3x + 2cos x + 5 = 0
tem exatamente uma solução real. Vamos usar as propriedades de funções contínuas, o Teorema do Valor Intermediário para garantir existência de raiz, e o estudo da derivada para garantir unicidade.

Passo 2

Definimos a função
f(x) = 3x + 2cos x + 5,
para todo xinR. Como soma de uma função linear e de cos x, ambas contínuas, concluímos que f é contínua em R.

Passo 3

Analisamos o comportamento de f nas extremidades:
  • Para xto -infty, o termo dominante é 3x, logo
    limxto -inftyf(x) = -infty.
  • Para xto +infty, limxto +inftyf(x) = +infty.
    Pela continuidade de f e pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um cinR tal que f(c)=0.

Passo 4

Para mostrar que essa raiz é única, calculamos a derivada:
f'(x) = 3 - 2sin x
Como sin xin[-1,1], temos
f'(x)>= 3 - 2cdot 1 = 1 > 0 para todo x
Assim, f é estritamente crescente e não pode ter mais de uma raiz.

Passo 5

Concluímos que f tem pelo menos uma raiz (Passo 3) e no máximo uma (Passo 4). Logo, existe exatamente uma solução real da equação.

Resposta

A equação 3x + 2cos x + 5 = 0 tem exatamente uma raiz real.

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