Mostre que a equação
tem exatamente uma raiz real.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação
tem exatamente uma solução real. Vamos usar as propriedades de funções contínuas, o Teorema do Valor Intermediário para garantir existência de raiz, e o estudo da derivada para garantir unicidade.
tem exatamente uma solução real. Vamos usar as propriedades de funções contínuas, o Teorema do Valor Intermediário para garantir existência de raiz, e o estudo da derivada para garantir unicidade.
Passo 2
Definimos a função
para todo
. Como soma de uma função linear e de
, ambas contínuas, concluímos que
é contínua em
.
Passo 3
Analisamos o comportamento de
nas extremidades:
- Para
, o termo dominante é , logo
. - Para
, .
Pela continuidade dee pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um tal que .
Passo 4
Para mostrar que essa raiz é única, calculamos a derivada:
Como
, temos
Assim,
é estritamente crescente e não pode ter mais de uma raiz.
Passo 5
Concluímos que
tem pelo menos uma raiz (Passo 3) e no máximo uma (Passo 4). Logo, existe exatamente uma solução real da equação.
Resposta
A equação
tem exatamente uma raiz real.