Prove que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a desigualdade racional
é logicamente equivalente à desigualdade polinomial
O conteúdo envolvido é o de inequações com frações — em particular, precisamos usar o fato de que, se o denominador é sempre positivo, podemos multiplicar sem mudar o sentido da desigualdade.
Passo 2
Observamos que, para todo
,
Logo o denominador da fração nunca se anula nem muda de sinal. Isso garante que podemos multiplicar ambos os lados da desigualdade original por
sem inverter o sinal de “
”.
Passo 3
Começamos com
Multiplicando os dois lados por
, que é positivo, obtemos
Passo 4
Para ver que não perdemos ou adicionamos soluções, basta inverter o raciocínio: se
então, dividindo por
, voltamos à desigualdade original
Assim provamos as duas implicações e concluímos a equivalência.