Prove que
5 x+3x^2+1 >= 2 Leftrightarrow 5 x+3 >= 2(x^2+1)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a desigualdade racional
5x+3x^2+1>= 2
é logicamente equivalente à desigualdade polinomial
5x+3>= 2,(x^2+1)
O conteúdo envolvido é o de inequações com frações — em particular, precisamos usar o fato de que, se o denominador é sempre positivo, podemos multiplicar sem mudar o sentido da desigualdade.

Passo 2

Observamos que, para todo xinR,
x^2+1>0
Logo o denominador da fração nunca se anula nem muda de sinal. Isso garante que podemos multiplicar ambos os lados da desigualdade original por x^2+1 sem inverter o sinal de “ >=”.

Passo 3

Começamos com
5x+3x^2+1>= 2
Multiplicando os dois lados por x^2+1, que é positivo, obtemos
5x+3 >= 2,(x^2+1)

Passo 4

Para ver que não perdemos ou adicionamos soluções, basta inverter o raciocínio: se
5x+3 >= 2,(x^2+1),
então, dividindo por x^2+1>0, voltamos à desigualdade original
5x+3x^2+1>= 2
Assim provamos as duas implicações e concluímos a equivalência.

Resposta

5x+3x^2+1>= 2 Leftrightarrow 5x+3>= 2,(x^2+1)

Exercícios relacionados