Em cada caso, verifique se a matriz dada é invertível e, se o for, determine a sua inversa.
[lll1 & 2 & 1 0 & 1 & 2 1 & 1 & 1]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = 1 & 2 & 1 0 & 1 & 2 1 & 1 & 1
é invertível e, em caso afirmativo, calcular A^-1.
O conteúdo envolvido é o teste de invertibilidade via determinante e a obtenção da inversa por eliminação de Gauss–Jordan.

Passo 2

Calculamos o determinante de A para checar invertibilidade. Pela regra de Sarrus ou expansão por cofatores:
det(A) =1cdotdet!1&21&1 -2cdotdet!0&21&1 +1cdotdet!0&11&1
Agora cada menor:
det!1&21&1 =1cdot1-2cdot1=-1, det!0&21&1 =0cdot1-2cdot1=-2, det!0&11&1 =0cdot1-1cdot1=-1
Substituindo:
det(A)=1cdot(-1)-2cdot(-2)+1cdot(-1) =-1+4-1=2

Passo 3

Como det(A)=2neq0, concluímos que A é invertível.

Passo 4

Para achar A^-1 usamos Gauss–Jordan. Montamos o ampliado l[A,|,Ir]:
[ccc|ccc 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 ]
Primeiro, zeramos o elemento (3,1) com R3 R3-R1 e depois (3,2) com R3 R3+R2. Obtemos
[ccc|ccc 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2 & -1 & 1 & 1 ]
Em seguida, normalizamos a terceira linha: R3 tfrac12R3, ficando
[ccc|ccc 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & -tfrac12 & tfrac12 & tfrac12 ]

Passo 5

Agora eliminamos os termos acima do pivô da terceira coluna:
R2 R2-2R3 e R1 R1-1R3. Isso dá
[ccc|ccc 1 & 2 & 0 & tfrac32 & -tfrac12 & -tfrac12 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & -1 0 & 0 & 1 & -tfrac12 & tfrac12 & tfrac12 ]
Por fim, eliminamos o termo (1,2) com R1 R1-2R2, chegando na forma
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & -tfrac12 & -tfrac12 & tfrac32 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & -1 0 & 0 & 1 & -tfrac12 & tfrac12 & tfrac12 ]

Resposta

A^-1 = -tfrac12 & -tfrac12 & tfrac32 1 & 0 & -1 -tfrac12 & tfrac12 & tfrac12

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