Em cada caso verifique se a sequencia ( an ) é convergente ou divergente.
1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot(2 n-1)n!2^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a sequência $ a_n = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot ··· \cdot (2n-1)}{n! \cdot 2^{n}} $ é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de sequências e limites, principalmente analisando o comportamento dessa sequência conforme $ n $ aumenta. Vamos precisar entender como simplificar produtos e fatoriais para calcular o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o numerador. O produto $ 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot ··· \cdot (2n-1) $ pode ser escrito de forma compacta usando o fatorial duplo, mas para facilitar, vamos relacionar com o fatorial normal.
Sabemos que:
1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot (2n-1)
Então, podemos reescrever a sequência $ a_n $ assim:
1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot (2n-1) = (2n)!)2^n cdot n!

Passo 3

Agora, temos:
an = (2n)!(n!)^2 cdot 4^n
Esse termo é conhecido por estar relacionado ao coeficiente binomial $ \binom{2n}{n} $, que é igual a $ \frac{(2n)!}{(n!)^2} $. Então:
binom2nn

Passo 4

Sabemos que $ \binom{2n}{n} $ cresce proporcionalmente a $ \frac{4^{n}}{\sqrt{\pi n}}} $ para valores grandes de $ n $ (isso vem da aproximação de Stirling). Então, podemos aproximar:
binom2nn

Passo 5

Agora, analisamos o limite dessa aproximação conforme $ n $ tende ao infinito:
n

Passo 6

Portanto, concluímos que a sequência $ a_n $ tende a zero conforme $ n $ aumenta.

Resposta

A sequência é convergente e seu limite é 0.

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