Em cada caso verifique se a sequencia (
) é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a sequência $ a_n = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot ··· \cdot (2n-1)}{n! \cdot 2^{n}} $ é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de sequências e limites, principalmente analisando o comportamento dessa sequência conforme $ n $ aumenta. Vamos precisar entender como simplificar produtos e fatoriais para calcular o limite.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o numerador. O produto $ 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot ··· \cdot (2n-1) $ pode ser escrito de forma compacta usando o fatorial duplo, mas para facilitar, vamos relacionar com o fatorial normal.
Sabemos que:
Então, podemos reescrever a sequência $ a_n $ assim:
Passo 3
Agora, temos:
Esse termo é conhecido por estar relacionado ao coeficiente binomial $ \binom{2n}{n} $, que é igual a $ \frac{(2n)!}{(n!)^2} $. Então:
Passo 4
Sabemos que $ \binom{2n}{n} $ cresce proporcionalmente a $ \frac{4^{n}}{\sqrt{\pi n}}} $ para valores grandes de $ n $ (isso vem da aproximação de Stirling). Então, podemos aproximar:
Passo 5
Agora, analisamos o limite dessa aproximação conforme $ n $ tende ao infinito:
Passo 6
Portanto, concluímos que a sequência $ a_n $ tende a zero conforme $ n $ aumenta.
Resposta
A sequência é convergente e seu limite é 0.