Calcule as integrais:
integral x^4-4 x^3+2 x^2+13 x-26x^2-x-6 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral x^4-4x^3+2x^2+13x-26x^2-x-6,dxque é uma função racional imprópria (o grau do numerador é 4 e do denominador é 2). Para resolver, vamos usar divisão de polinômios para separar uma parte polinomial e uma parte própria, e depois aplicar decomposição em frações parciais na parte própria.

Passo 2

Fazendo a divisão de x^4-4x^3+2x^2+13x-26 por x^2-x-6:
x^4-4x^3+2x^2+13x-26x^2-x-6=x^2-3x+5+4x^2-x-6
isso porque o quociente é x^2-3x+5 e o resto é 4.

Passo 3

Reescrevendo a integral com essa divisão, temos
integrall(x^2-3x+5r),dx+4integral1x^2-x-6,dx
A parte polinomial é direta de integrar: para x^n, integral x^ndx=x^n+1n+1.

Passo 4

Na parte fracionária, note que
x^2-x-6=(x-3)(x+2)
Pela técnica de frações parciais, escrevemos
4(x-3)(x+2)=Ax-3+Bx+2
Multiplicando em comum denominador e comparando coeficientes, obtemos os valores de A e B.

Passo 5

Fazendo a comparação de coeficientes em 4=A(x+2)+B(x-3), escolhemos valores convenientes:
  • Para x=3: 4=5A A=tfrac45.
  • Para x=-2: 4=-5B B=-tfrac45.
    Logo:
4x^2-x-6=4/5x-3-4/5x+2
Cada uma dessas frações integra como integraldxx-a=ln|x-a|.

Passo 6

Somando os resultados, a parte polinomial dá
tfracx^33-tfrac3x^22+5x, e a parte fracionária dá
tfrac45ln|x-3|-tfrac45ln|x+2|.
Adicionamos a constante de integração C para finalizar a solução geral.

Resposta

x^33-3x^22+5x+45lnl|x-3r|-45lnl|x+2r|+C

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