Calcule as integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
que é uma função racional imprópria (o grau do numerador é 4 e do denominador é 2). Para resolver, vamos usar divisão de polinômios para separar uma parte polinomial e uma parte própria, e depois aplicar decomposição em frações parciais na parte própria.
Passo 2
Fazendo a divisão de
por
:
isso porque o quociente é
e o resto é 4.
Passo 3
Reescrevendo a integral com essa divisão, temos
A parte polinomial é direta de integrar: para
,
.
Passo 4
Na parte fracionária, note que
Pela técnica de frações parciais, escrevemos
Multiplicando em comum denominador e comparando coeficientes, obtemos os valores de
e
.
Passo 5
Fazendo a comparação de coeficientes em
, escolhemos valores convenientes:
- Para
: ⇒ . - Para
: ⇒ .
Logo:
Cada uma dessas frações integra como
.
Passo 6
Somando os resultados, a parte polinomial dá
, e a parte fracionária dá
.
Adicionamos a constante de integração para finalizar a solução geral.
Adicionamos a constante de integração