Em cada caso verifique se a sequencia (
) é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a sequência $ a_n = n\left[\sin\left(\frac{n{3}+1}{n{2}}\right) - \sin n\right] $ é convergente ou divergente. Vamos usar conhecimentos sobre sequências e funções trigonométricas, especialmente propriedades do seno, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do seno:
Então, a sequência fica:
Passo 3
Agora, usamos uma identidade trigonométrica que ajuda a simplificar a diferença de dois senos:
Aplicando isso aqui, onde $ A = n + \frac{1}{n^{2}} $ e $ B = n $:
Então, a sequência vira:
Passo 4
Para simplificar mais, vamos lembrar que para valores muito pequenos de $ x $, o seno pode ser aproximado por $ \sin x \approx x $. Como $ \frac{1}{2n^{2}} $ fica muito pequeno quando $ n $ aumenta, temos:
Substituindo isso na expressão:
Passo 5
Agora, observamos que $ \cos\left(n + \frac{1}{2n^{2}}\right) $ oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de $ n $. Então, o termo inteiro $ \frac{\cos\left(n + \frac{1}{2n^{2}}\right)}{n} $ vai ficar entre $ -\frac{1}{n} $ e $ \frac{1}{n} $.
Sabemos que quando $ n $ tende ao infinito, $ \frac{1}{n} $ tende a 0. Portanto, a sequência $ a_n $ também tende a 0.
Resposta
A sequência $ a_n = n\left[\sin\left(\frac{n{3}+1}{n{2}}\right) - \sin n\right] $ é convergente e seu limite é 0.