Em cada caso verifique se a sequencia ( an ) é convergente ou divergente.
n[sen(n^3+1n^2)-sen n]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a sequência $ a_n = n\left[\sin\left(\frac{n{3}+1}{n{2}}\right) - \sin n\right] $ é convergente ou divergente. Vamos usar conhecimentos sobre sequências e funções trigonométricas, especialmente propriedades do seno, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do seno:
n^3 + 1n^2 = n + 1n^2
Então, a sequência fica:
an = n [ sin(n + 1n^2) - sin n ]

Passo 3

Agora, usamos uma identidade trigonométrica que ajuda a simplificar a diferença de dois senos:
sin A - sin B = 2 cos(A + B2) sin(A - B2)
Aplicando isso aqui, onde $ A = n + \frac{1}{n^{2}} $ e $ B = n $:
A = n + 1n^2
Então, a sequência vira:
B = n

Passo 4

Para simplificar mais, vamos lembrar que para valores muito pequenos de $ x $, o seno pode ser aproximado por $ \sin x \approx x $. Como $ \frac{1}{2n^{2}} $ fica muito pequeno quando $ n $ aumenta, temos:
x
Substituindo isso na expressão:
sin x approx x

Passo 5

Agora, observamos que $ \cos\left(n + \frac{1}{2n^{2}}\right) $ oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de $ n $. Então, o termo inteiro $ \frac{\cos\left(n + \frac{1}{2n^{2}}\right)}{n} $ vai ficar entre $ -\frac{1}{n} $ e $ \frac{1}{n} $.
Sabemos que quando $ n $ tende ao infinito, $ \frac{1}{n} $ tende a 0. Portanto, a sequência $ a_n $ também tende a 0.

Resposta

A sequência $ a_n = n\left[\sin\left(\frac{n{3}+1}{n{2}}\right) - \sin n\right] $ é convergente e seu limite é 0.

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