Em cada caso verifique se a sequencia (
) é convergente ou divergente.
Passo 1
Vamos lá! A gente tem uma sequência definida por $ a_n = \frac{n^{n}}{n!} $. A questão é verificar se essa sequência converge (ou seja, se ela se aproxima de um número específico quando $ n $ aumenta) ou se diverge (não se aproxima de nenhum número). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre crescimento de funções e fatores que influenciam o comportamento das sequências.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que temos na expressão $ a_n = \frac{n^{n}}{n!} $. Aqui, $ n^{n} $ significa que $ n $ está sendo multiplicado por ele mesmo $ n $ vezes. Já $ n! $ (fatorial de $ n $) é o produto de todos os números de 1 até $ n $. Por exemplo, $ 5! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120 $.
Passo 3
Para entender o comportamento dessa sequência, vamos comparar como $ n^{n} $ e $ n! $ crescem conforme $ n $ aumenta. Sabemos que $ n^{n} $ cresce muito rapidamente porque estamos multiplicando um número por ele mesmo muitas vezes. Por outro lado, $ n! $ também cresce rapidamente, mas de uma forma um pouco diferente.
Passo 4
Uma ferramenta útil para comparar esses crescimentos é a fórmula de Stirling, que aproxima o fatorial de $ n $ para valores grandes de $ n $. A fórmula de Stirling é:
Isso nos ajuda a entender que $ n! $ cresce aproximadamente como $ \left( \frac{n}{e} \right)^{n} $, onde $ e $ é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente igual a 2,718.
Passo 5
Agora, vamos reescrever nossa sequência usando a aproximação de Stirling:
Passo 6
Observamos que, ao simplificar, a expressão ficou:
Aqui, $ e^{n} $ cresce exponencialmente, enquanto $ \sqrt{2\pi n} $ cresce de forma bem mais lenta (como uma raiz quadrada). Isso significa que, à medida que $ n $ aumenta, o numerador cresce muito mais rápido que o denominador.
Passo 7
Portanto, $ a_n $ tende a infinito conforme $ n $ cresce:
Isso quer dizer que a sequência não se aproxima de nenhum número específico, ou seja, a sequência diverge.
Resposta
A sequência $ a_n = \frac{n^{n}}{n!} $ é divergente.