Considere a equação diferencial de segunda ordem
x y^prime prime+12 y^prime-y=0
Aplicando o método de Frobenius em torno do ponto singular regular x0=0, encontre a equação indicial e a relação de recorrência.

Passo 1

Temos a equação diferencial de segunda ordem x y'' + tfrac12 y' - y = 0, que possui um ponto singular regular em x0 = 0. Vamos aplicar o método de Frobenius, que consiste em procurar uma solução da forma y = sumn=0^infty an x^n+r, determinando primeiro a equação indicial (para achar r) e depois a relação de recorrência (para expressar an em função de an-1).

Passo 2

Propondo a série de Frobenius, escrevemos
y = sumn=0^infty an x^n+r, y' = sumn=0^infty an (n+r) x^n+r-1, y'' = sumn=0^infty an (n+r)(n+r-1) x^n+r-2

Passo 3

Substituindo na equação original e multiplicando cada termo para igualar as potências de x, obtemos
x y'' = sumn=0^infty an (n+r)(n+r-1) x^n+r-1, tfrac12 y' = sumn=0^infty tfrac12 an (n+r) x^n+r-1,

Passo 4

-y = -sumn=0^infty an x^n+r = -sumn=1^infty an-1 x^n+r-1

Passo 5

Somando tudo e coletando em potências de x^n+r-1, o coeficiente geral anula-se:
anl[(n+r)(n+r-1)+tfrac12(n+r)r] - an-1 = 0,
para n>=1. Já o termo de menor ordem ( n=0) dá a equação indicial.

Passo 6

O termo de menor ordem é o de x^r-1, que vem apenas dos dois primeiros somatórios quando n=0. Daí
a0l[r(r-1)+tfrac12rr]=0Longrightarrow rl(r-1+tfrac12r)=0

Passo 7

Para n>=1, isolamos an e obtemos a relação de recorrência:
an = an-1(n+r)(n+r-1+tfrac12) = an-1(n+r)(n+r-tfrac12)

Resposta

Equação indicial: r(r-tfrac12)=0. Relação de recorrência: an=dfracan-1(n+r)(n+r-tfrac12).

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