Considere a equação diferencial de segunda ordem
x y^prime prime+12 y^prime-y=0
(a) Aplicando o método de Frobenius em torno do ponto singular regular x0=0, encontre a equação indicial e a relação de recorrência.
(b) Quais as raízes da equação indicial?
© Sem calcular os coeficientes, como deve ser a forma da solução geral desta equação?

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem
x,y''+tfrac12,y'-y=0
no ponto singular regular x0=0 usando o método de Frobenius. Vamos precisar usar a teoria de pontos singulares regulares, que diz para supor uma solução da forma y=sumn=0^infty an,x^n+r, calcular y' e y'', e então extrair a equação indicial (coeficiente do menor expoente) e a relação de recorrência entre an.

Passo 2

Substituímos
y=sumn=0^infty an,x^n+r, y'=sumn=0^infty (n+r)an,x^n+r-1, y''=sumn=0^infty(n+r)(n+r-1)an,x^n+r-2
Multiplicando y'' por x e alinhando potências de x^n+r-1, obtemos para n>=1
(n+r)(n+r-1)an+tfrac12(n+r)an - an-1=0
ou seja a relação de recorrência
an=an-1(n+r)(n+r-1)+tfrac12(n+r)=an-1(n+r)(n+r-tfrac12)
No termo inicial ( n=0) surge a equação indicial
r(r-1)+tfrac12r=0Longrightarrow r(r-tfrac12)=0

Passo 3

As raízes da equação indicial são
r1=0, r2=tfrac12

Passo 4

Como as raízes diferem por tfrac12, não há casos de logaritmo e a solução geral é a combinação linear de duas séries de Frobenius independentes:
y(x)=C1sumn=0^infty an,x^n+C2sumn=0^infty bn,x^n+tfrac12

Resposta

As raízes são r=0 e r=1/2, e a solução geral é
y(x)=C1sumn=0^infty an,x^n + C2sumn=0^infty bn,x^n+1/2

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