Considere a equação diferencial de segunda ordem
(a) Aplicando o método de Frobenius em torno do ponto singular regular
, encontre a equação indicial e a relação de recorrência.
(b) Quais as raízes da equação indicial?
© Sem calcular os coeficientes, como deve ser a forma da solução geral desta equação?
(b) Quais as raízes da equação indicial?
© Sem calcular os coeficientes, como deve ser a forma da solução geral desta equação?
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem
no ponto singular regular
usando o método de Frobenius. Vamos precisar usar a teoria de pontos singulares regulares, que diz para supor uma solução da forma
, calcular
e
, e então extrair a equação indicial (coeficiente do menor expoente) e a relação de recorrência entre
.
Passo 2
Substituímos
Multiplicando
por
e alinhando potências de
, obtemos para
ou seja a relação de recorrência
No termo inicial (
) surge a equação indicial
Passo 3
As raízes da equação indicial são
Passo 4
Como as raízes diferem por
, não há casos de logaritmo e a solução geral é a combinação linear de duas séries de Frobenius independentes:
Resposta
As raízes são
e
, e a solução geral é