Derive a função.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para derivá-la em relação a
. Informações relevantes:
- A variável é
. - Assume-se que
e são constantes (se não for esse o caso, isso muda a derivação). - Para a expressão estar bem definida, é preciso
e (porque aparece o logaritmo natural).
O objetivo: calcular.
Passo 2
Usar propriedades dos logaritmos para simplificar a expressão antes de derivar (isso deixa tudo bem mais simples na hora da prova). As propriedades que iremos usar são:
-
. -
.
Aplicando em
:
Agora aplicando a segunda propriedade:
Passo 3
Relembrando regras de derivação que vou usar:
- Derivada do logaritmo natural: para uma função
com ,
- Derivada de
(caso particular) é
- Derivada de uma constante vezes uma função:
. - Derivada de
é , e constante em relação a tem derivada .
Passo 4
Aplicar as regras termo a termo na forma simplificada
.
Primeiro termo:
. Aqui
é constante, então
Segunda termo:
. Note que
é constante (porque
é constante), então isso é uma constante multiplicando
. Logo
(Pra reforçar: se preferir usar a regra geral
diretamente em
, obtém-se
, que coincide com o cálculo acima.)
Passo 5
Somando as duas derivadas encontramos:
Lembre-se das hipóteses de domínio:
e
. Se
(constante de Euler), por exemplo,
e a derivada vira
.