Derive a função.
y=\ln \frac{x^{a}}{h^{x}}

Passo 1

O enunciado nos dá a função y=\ln\frac{x^{a}}{h^{x}} e pede para derivá-la em relação a x. Informações relevantes:
  • A variável é x.
  • Assume-se que a e h são constantes (se não for esse o caso, isso muda a derivação).
  • Para a expressão estar bem definida, é preciso x>0 e h>0 (porque aparece o logaritmo natural).
    O objetivo: calcular \frac{dy}{dx}.

Passo 2

Usar propriedades dos logaritmos para simplificar a expressão antes de derivar (isso deixa tudo bem mais simples na hora da prova). As propriedades que iremos usar são:
  • \ln\frac{A}{B}=\ln A-\ln B.
  • \ln(A^{k})=k\ln A.
Aplicando em y:
y=\ln\frac{x^{a}}{h^{x}}=\ln\bigl(x^{a}\bigr)-\ln\bigl(h^{x}\bigr).
Agora aplicando a segunda propriedade:
y=a\ln x - x\ln h.

Passo 3

Relembrando regras de derivação que vou usar:
  • Derivada do logaritmo natural: para uma função u(x) com u(x)>0,
\frac{d}{dx}\ln u(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
  • Derivada de \ln x (caso particular) é
\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}.
  • Derivada de uma constante vezes uma função: \dfrac{d}{dx}\bigl(C\cdot f(x)\bigr)=C\cdot f'(x).
  • Derivada de x é 1, e constante em relação a x tem derivada 0.

Passo 4

Aplicar as regras termo a termo na forma simplificada y=a\ln x - x\ln h.
Primeiro termo: a\ln x. Aqui a é constante, então
\frac{d}{dx}\bigl(a\ln x\bigr)=a\cdot\frac{d}{dx}\ln x = a\cdot\frac{1}{x}=\frac{a}{x}.
Segunda termo: -x\ln h. Note que \ln h é constante (porque h é constante), então isso é uma constante multiplicando x. Logo
\frac{d}{dx}\bigl(-x\ln h\bigr)=-\ln h\cdot\frac{d}{dx}x=-\ln h\cdot 1=-\ln h.
(Pra reforçar: se preferir usar a regra geral \dfrac{d}{dx}\ln u=\dfrac{u'}{u} diretamente em \ln(x^{a}), obtém-se \dfrac{d}{dx}\ln(x^{a})=\dfrac{a x^{a-1}}{x^{a}}=\dfrac{a}{x}, que coincide com o cálculo acima.)

Passo 5

Somando as duas derivadas encontramos:
\frac{dy}{dx}=\frac{a}{x}-\ln h.
Lembre-se das hipóteses de domínio: x>0 e h>0. Se h=e (constante de Euler), por exemplo, \ln h=1 e a derivada vira \dfrac{a}{x}-1.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{a}{x}-\ln h

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