Em cada caso verifique se vetores são LD ou LI.
u=3 i+j+2 k, v=i+j+k, w=2 i+k

Passo 1

O problema pede para verificar se os três vetores
u=3i+j+2k,
v=i+j+k e
w=2i+k
são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD).
Conteúdo: Álgebra Linear – estudo de dependência linear em R^3.
Vamos montar a matriz cujas colunas são as componentes dos vetores e calcular o determinante.

Passo 2

Escrevendo as colunas em uma única matriz, temos
A = 3 & 1 & 2 [6pt] 1 & 1 & 0 [6pt] 2 & 1 & 1 ,
onde a primeira coluna é u, a segunda é v e a terceira é w.

Passo 3

Calculemos det(A) por expansão na primeira linha:
det(A) =3cdotdet1 & 0 [3pt] 1 & 1 -1cdotdet1 & 0 [3pt] 2 & 1 +2cdotdet1 & 1 [3pt] 2 & 1
Agora cada menor:
det1 & 0 1 & 1 =1cdot1-0cdot1=1, det1 & 0 2 & 1 =1cdot1-0cdot2=1, det1 & 1 2 & 1 =1cdot1-1cdot2=-1
Substituindo:
det(A)=3cdot1;-;1cdot1;+;2cdot(-1) =3-1-2=0

Passo 4

Como det(A)=0, a única combinação trivial
c1u+c2v+c3w=0
não é a única, logo os vetores são linearmente dependentes.

Resposta

Os vetores u,v,w são linearmente dependentes.

Exercícios relacionados