1.39 Verifique que os vetores a=i+j-3 k, b=2 i+j+3 k e c=-3 i+9 j-k formam uma base do R^3 e determine as coordenadas do vetor v=i+j+k nessa base. A base é positiva ou negativa?

Passo 1

O enunciado dá os vetores
vec a = (1,1,-3),
vec b = (2,1,3) e
vec c = (-3,9,-1)
e pede para (i) verificar que eles formam base de R^3, (ii) achar as coordenadas de vec v=(1,1,1) nessa base e (iii) dizer se a base é positiva ou negativa.
Para isso vamos usar conteúdo de álgebra linear: independência linear (determinante), resolução de sistema linear para coordenadas e sinal do determinante para orientação.

Passo 2

Para checar independência linear, montamos a matriz cujas colunas são vec a,vec b,vec c e calculamos seu determinante, que também é o produto misto vec acdot(vec btimesvec c).
M= 1 & 2 & -3 1 & 1 & 9 -3 & 3 & -1 det M =1cdot1&93&-1 -2cdot1&9-3&-1 -3cdot1&1-3&3
det M =1,(1cdot(-1)-9cdot3) -2,(1cdot(-1)-9cdot(-3)) -3,(1cdot3-1cdot(-3)) =-28-52-18=-98neq0
Como det Mneq0, os vetores são independentes e formam base de R^3.

Passo 3

Escrevemos
xvec a + yvec b + zvec c = vec v
isto é, o sistema
x + 2y - 3z = 1, x + y + 9z = 1, -3x+ 3y - z = 1
Da diferença (segunda menos primeira) vem
-y +12z=0Longrightarrow y=12z
Substituindo em x+2y-3z=1
x +24z-3z=1Longrightarrow x=1-21z
Por fim, na terceira equação:
-3(1-21z)+3(12z)-z=1 Longrightarrow -3+63z+36z -z=1 Longrightarrow 98z=4 Longrightarrow z=498=249
Logo
y=12cdot249=2449, x=1-21cdot249=749=17

Passo 4

A orientação da base é determinada pelo sinal de det M. Como
det M=-98<0,
a base vec a,vec b,vec c é negativa.

Resposta

As coordenadas de vec v na base vec a,vec b,vec c são
l(x,y,zr)=l(tfrac17,,tfrac2449,,tfrac249r),
e a base é de orientação negativa.

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