Para cada um dos casos abaixo
  • calcule o coeficiente de correlação linear ( r ).
  • Determine a equação da reta de regressão linear (\hat{y}=a x+b).
  • Interprete o tipo de correlação encontrada.
  1. Um professor deseja verificar a relação entre o número de horas semanais dedicadas ao estudo (x) e a nota final em uma disciplina de exatas (y) para 10 alunos.
x (Horas) 2 4 5 7 10 12 14 15 18 20
y (Nota) 3,0 4,5 4,0 5,5 6,5 7,0 8,0 7,5 9,0 9,5

Passo 1

O enunciado fornece os pares (x,y) para n=10 alunos, onde x é o número de horas semanais de estudo e y é a nota final. O que é pedido:
  • Calcular o coeficiente de correlação linear r.
  • Determinar a equação da reta de regressão linear \hat{y}=a x + b.
  • Interpretar o tipo de correlação encontrada.
Os dados fornecidos (copiados do enunciado) são:
\begin{array}{c|cccccccccc} x\\ (\text{horas}) & 2 & 4 & 5 & 7 & 10 & 12 & 14 & 15 & 18 & 20\\hline y\\ (\text{nota}) & 3{,}0 & 4{,}5 & 4{,}0 & 5{,}5 & 6{,}5 & 7{,}0 & 8{,}0 & 7{,}5 & 9{,}0 & 9{,}5 \end{array}

Passo 2

Vou explicar as fórmulas que usarei (com o que cada símbolo significa), passo a passo.
  • Média aritmética:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i,\qquad \bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i,
onde \bar{x} é a média das x e \bar{y} a média das y.
  • Somatórios auxiliares (desvios multiplicados e quadrados):
S_{xy}=\sum_{i=1}^n x_i y_i - n\,\bar{x}\,\bar{y},
S_{xx}=\sum_{i=1}^n x_i^2 - n\,\bar{x}^2,
S_{yy}=\sum_{i=1}^n y_i^2 - n\,\bar{y}^2.
Esses valores aparecem frequentemente: S_{xy} é a soma dos produtos centrados (proporcional à covariância), S_{xx} e S_{yy} são somas de quadrados centradas.
  • Coeficiente de correlação linear (Pearson):
r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}\,S_{yy}}}.
Ele varia entre -1 e 1. Valores próximos de 1 indicam correlação positiva forte, próximos de -1 correlação negativa forte, e próximos de 0 pouca ou nenhuma correlação linear.
  • Reta de regressão de y sobre x:
\hat{y}=a x + b,
onde a inclinação (coeficiente angular)
a=\frac{S_{xy}}{S_{xx}},
e o intercepto (coeficiente linear)
b=\bar{y}-a\,\bar{x}.
Interpretação prática: a diz quanto, em média, a nota \hat{y} aumenta quando x aumenta uma unidade (uma hora).

Passo 3

Calcular médias e somatórios básicos a partir dos dados.
  • Soma e média de x:
\sum x_i = 107,\qquad \bar{x}=\frac{107}{10}=10{,}7.
  • Soma e média de y:
\sum y_i = 64{,}5,\qquad \bar{y}=\frac{64{,}5}{10}=6{,}45.
  • Soma dos produtos x_i y_i:
\sum x_i y_i = 808{,}0.
  • Soma dos quadrados:
\sum x_i^2 = 1483,\qquad \sum y_i^2 = 458{,}25.
(Se quiser conferir, cada termo foi obtido multiplicando e elevando ao quadrado cada par (x_i,y_i) e somando.)

Passo 4

Calcular S_{xy}, S_{xx} e S_{yy} usando as fórmulas dadas.
  • Primeiro:
n\,\bar{x}\,\bar{y}=10\cdot 10{,}7\cdot 6{,}45 = 690{,}15.
  • Então:
S_{xy}=\sum x_i y_i - n\bar{x}\bar{y}=808{,}0 - 690{,}15 = 117{,}85.
  • Para S_{xx}:
n\bar{x}^2 = 10\cdot (10{,}7)^2 = 10\cdot 114{,}49 = 1144{,}9,
S_{xx}=\sum x_i^2 - n\bar{x}^2 = 1483 - 1144{,}9 = 338{,}1.
  • Para S_{yy}:
n\bar{y}^2 = 10\cdot (6{,}45)^2 = 10\cdot 41{,}6025 = 416{,}025,
S_{yy}=\sum y_i^2 - n\bar{y}^2 = 458{,}25 - 416{,}025 = 42{,}225.

Passo 5

Calcular o coeficiente de correlação r.
  • Produto S_{xx}S_{yy}:
S_{xx}S_{yy} = 338{,}1 \times 42{,}225 \approx 14\,276{,}2725.
  • Raiz quadrada:
\sqrt{S_{xx}S_{yy}}\approx 119{,}479\\ (\text{aprox.}).
  • Então:
r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}} =\frac{117{,}85}{119{,}479}\approx 0{,}9864.
Explicando em português simples: r\approx 0{,}986 é muito próximo de 1, indicando uma relação linear positiva muito forte entre horas de estudo e nota.

Passo 6

Calcular os coeficientes da reta de regressão \hat{y}=a x + b.
  • Inclinação:
a=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}=\frac{117{,}85}{338{,}1}\approx 0{,}3485.
Interpretação: em média, cada hora adicional de estudo aumenta a nota esperada em cerca de 0{,}3485 pontos.
  • Intercepto:
b=\bar{y}-a\,\bar{x}=6{,}45 - 0{,}3485\times 10{,}7 \approx 6{,}45 - 3{,}7291 \approx 2{,}7209.
Portanto a equação estimada fica:
\hat{y}=0{,}3485\,x + 2{,}7209\\ (\text{aprox.}).

Passo 7

Interpretações finais e medidas auxiliares:
  • Coeficiente de determinação:
r^2 \approx (0{,}9864)^2 \approx 0{,}9730.
Isto significa que cerca de 97{,}3\% da variação das notas y é explicada pela variação linear em x (horas de estudo), segundo este modelo linear simples.
  • Tipo de correlação: positiva e muito forte — conforme r muito próximo de +1. Isso significa que, de modo geral, quanto mais horas os alunos estudaram, maior foi a nota, de forma aproximadamente linear.
  • Observação prática: a reta dá uma previsão simples. Por exemplo, para x=10 horas, \hat{y}=0{,}3485\cdot 10 + 2{,}7209 \approx 6{,}2059, o que está perto da nota observada 6{,}5. Lembre-se: regressão fornece expectativa condicional; sempre convém checar presença de outliers e validade do modelo linear antes de extrapolar muito.

Resposta

r \approx 0{,}9864
\hat{y}=0{,}3485\,x + 2{,}7209
Correlação positiva muito forte (aproximadamente 97{,}3\% da variação de y explicada pela variação de x).

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