Para cada um dos casos abaixo
- calcule o coeficiente de correlação linear (
).
- Determine a equação da reta de regressão linear
.
- Interprete o tipo de correlação encontrada.
- Um professor deseja verificar a relação entre o número de horas semanais dedicadas ao estudo
e a nota final em uma disciplina de exatas
para 10 alunos.
(Horas)
2
4
5
7
10
12
14
15
18
20
(Nota)
3,0
4,5
4,0
5,5
6,5
7,0
8,0
7,5
9,0
9,5
|
|
2 | 4 | 5 | 7 | 10 | 12 | 14 | 15 | 18 | 20 |
|
|
3,0 | 4,5 | 4,0 | 5,5 | 6,5 | 7,0 | 8,0 | 7,5 | 9,0 | 9,5 |
Passo 1
O enunciado fornece os pares
para
alunos, onde
é o número de horas semanais de estudo e
é a nota final. O que é pedido:
- Calcular o coeficiente de correlação linear
. - Determinar a equação da reta de regressão linear
. - Interpretar o tipo de correlação encontrada.
Os dados fornecidos (copiados do enunciado) são:
Passo 2
Vou explicar as fórmulas que usarei (com o que cada símbolo significa), passo a passo.
- Média aritmética:
onde
é a média das
e
a média das
.
- Somatórios auxiliares (desvios multiplicados e quadrados):
Esses valores aparecem frequentemente:
é a soma dos produtos centrados (proporcional à covariância),
e
são somas de quadrados centradas.
- Coeficiente de correlação linear (Pearson):
Ele varia entre
e
. Valores próximos de
indicam correlação positiva forte, próximos de
correlação negativa forte, e próximos de
pouca ou nenhuma correlação linear.
- Reta de regressão de
sobre :
onde a inclinação (coeficiente angular)
e o intercepto (coeficiente linear)
Interpretação prática:
diz quanto, em média, a nota
aumenta quando
aumenta uma unidade (uma hora).
Passo 3
Calcular médias e somatórios básicos a partir dos dados.
- Soma e média de
:
- Soma e média de
:
- Soma dos produtos
:
- Soma dos quadrados:
(Se quiser conferir, cada termo foi obtido multiplicando e elevando ao quadrado cada par
e somando.)
Passo 4
Calcular
,
e
usando as fórmulas dadas.
- Primeiro:
- Então:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Calcular o coeficiente de correlação
.
- Produto
:
- Raiz quadrada:
- Então:
Explicando em português simples:
é muito próximo de
, indicando uma relação linear positiva muito forte entre horas de estudo e nota.
Passo 6
Calcular os coeficientes da reta de regressão
.
- Inclinação:
Interpretação: em média, cada hora adicional de estudo aumenta a nota esperada em cerca de
pontos.
- Intercepto:
Portanto a equação estimada fica:
Passo 7
Interpretações finais e medidas auxiliares:
- Coeficiente de determinação:
Isto significa que cerca de
da variação das notas
é explicada pela variação linear em
(horas de estudo), segundo este modelo linear simples.
-
Tipo de correlação: positiva e muito forte — conforme
muito próximo de . Isso significa que, de modo geral, quanto mais horas os alunos estudaram, maior foi a nota, de forma aproximadamente linear. -
Observação prática: a reta dá uma previsão simples. Por exemplo, para
horas, , o que está perto da nota observada . Lembre-se: regressão fornece expectativa condicional; sempre convém checar presença de outliers e validade do modelo linear antes de extrapolar muito.
Resposta
Correlação positiva muito forte (aproximadamente