Imagine um cenário hipotético onde a organização do campeonato aplicasse uma regra de conduta tão rigorosa que todos os 20 times terminassem a competição com exatamente o mesmo número de faltas (546). Quais seriam os valores da variância e do desvio padrão neste caso?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tudo tirado do texto do problema):
  • 20 times.
  • Cada time terminou a competição com exatamente 546 faltas.
O enunciado pergunta:
  • Qual é o valor da variância?
  • Qual é o valor do desvio padrão?

Passo 2

Definição e fórmula da média (para fixar as ideias).
  • A média aritmética dos valores é dada por
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i,
onde n é o número de observações e x_i são as observações individuais.
  • Aqui n=20 e cada x_i=546. Então a média é a soma de vinte vezes 546 dividida por 20.

Passo 3

Cálculo da média passo a passo.
  • Soma das observações: \sum_{i=1}^{20}x_i = 20\times 546.
  • Média:
\bar{x}=\frac{20\times 546}{20}=546.
  • Interpretação simples: se todos os números são iguais a 546, a média também tem que ser 546. Tranquilo!

Passo 4

Definição e fórmula da variância (populacional) com explicação das letras.
  • A variância populacional é
\sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2,
onde \mu é a média da população (aqui \mu=\bar{x}), x_i são as observações e n o número de observações.
  • O que essa fórmula mede, em palavras: cada x_i-\mu é o quanto a observação se afasta da média; ao elevar ao quadrado e somar, obtemos uma medida agregada desses afastamentos; dividir por n normaliza para o tamanho da amostra.

Passo 5

Cálculo da variância no caso com todas as observações iguais.
  • Para cada i vale x_i=546 e a média \mu=546, então cada desvio é
x_i-\mu=546-546=0.
  • Portanto cada termo quadrado é (x_i-\mu)^2=0^2=0.
  • Soma dos quadrados: \sum_{i=1}^{20}(x_i-\mu)^2 = 20\times 0 = 0.
  • Aplicando a fórmula da variância:
\sigma^2=\frac{1}{20}\times 0 = 0.
  • Observação útil para a prova: sempre que todos os dados forem iguais, a variância populacional será 0, porque não há dispersão em relação à média.

Passo 6

Desvio padrão e caso do estimador amostral (nota prática).
  • O desvio padrão populacional é a raiz quadrada da variância:
\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{0}=0.
  • Comentário sobre o estimador amostral: se alguém perguntasse pela variância amostral s^2=\dfrac{1}{n-1}\sum (x_i-\bar{x})^2, o numerador também seria 0, logo s^2=0 e s=0. Ou seja, tanto para a definição populacional quanto para a amostral, o resultado é o mesmo neste caso particular.

Resposta

\text{Variância} = 0â
\text{Desvio padrão} = 0ã

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