Imagine um cenário hipotético onde a organização do campeonato aplicasse uma regra de conduta tão rigorosa que todos os 20 times terminassem a competição com exatamente o mesmo número de faltas (546). Quais seriam os valores da variância e do desvio padrão neste caso?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (tudo tirado do texto do problema):
- Há
times. - Cada time terminou a competição com exatamente
faltas.
O enunciado pergunta:
- Qual é o valor da variância?
- Qual é o valor do desvio padrão?
Passo 2
Definição e fórmula da média (para fixar as ideias).
- A média aritmética dos valores é dada por
onde
é o número de observações e
são as observações individuais.
- Aqui
e cada . Então a média é a soma de vinte vezes dividida por .
Passo 3
Cálculo da média passo a passo.
- Soma das observações:
. - Média:
- Interpretação simples: se todos os números são iguais a
, a média também tem que ser . Tranquilo!
Passo 4
Definição e fórmula da variância (populacional) com explicação das letras.
- A variância populacional é
onde
é a média da população (aqui
),
são as observações e
o número de observações.
- O que essa fórmula mede, em palavras: cada
é o quanto a observação se afasta da média; ao elevar ao quadrado e somar, obtemos uma medida agregada desses afastamentos; dividir por normaliza para o tamanho da amostra.
Passo 5
Cálculo da variância no caso com todas as observações iguais.
- Para cada
vale e a média , então cada desvio é
- Portanto cada termo quadrado é
. - Soma dos quadrados:
. - Aplicando a fórmula da variância:
- Observação útil para a prova: sempre que todos os dados forem iguais, a variância populacional será
, porque não há dispersão em relação à média.
Passo 6
Desvio padrão e caso do estimador amostral (nota prática).
- O desvio padrão populacional é a raiz quadrada da variância:
- Comentário sobre o estimador amostral: se alguém perguntasse pela variância amostral
, o numerador também seria , logo e . Ou seja, tanto para a definição populacional quanto para a amostral, o resultado é o mesmo neste caso particular.