Se um novo time fosse convidado para o torneio e apresentasse um histórico de 750 faltas, descreva qualitativamente o que aconteceria com a variância do conjunto e o que esse valor representaria em termos de desvios padrões em relação à média atual.

Passo 1

O que o enunciado dá:
  • Um novo time com x=750 faltas será adicionado ao conjunto atual.
  • Não foram fornecidos números específicos do conjunto atual; existe uma média atual \mu e uma variância (ou desvio-padrão) atual \sigma^2 (respectivamente \sigma para o desvio-padrão) sobre N observações.
O que é pedido:
  • Descrever qualitativamente o que acontece com a variância do conjunto ao adicionar x=750.
  • Explicar o que esse valor (750) representa em termos de desvios-padrão em relação à média atual.

Passo 2

Lembrando as definições (passo a passo, sem pular nada):
  • A média atual do conjunto com N observações é \displaystyle \mu=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} x_i.
  • A variância populacional atual é \displaystyle \sigma^{2}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2.
  • O desvio-padrão é \sigma=\sqrt{\sigma^2}.
O significado: a variância é a média dos quadrados das distâncias de cada observação à média. Uma observação muito distante da média contribui com um termo (x_i-\mu)^2 grande, que tende a aumentar a variância do conjunto.

Passo 3

Como a média muda ao adicionar o novo valor x:
  • A nova média \mu' com N+1 observações é
\mu'=\frac{N\mu + x}{N+1}.
  • É útil definir a diferença d=x-\mu. Então
\mu'=\mu+\frac{d}{N+1}.
Isto mostra que a média se desloca na direção de x, mas esse deslocamento é de magnitude |d|/(N+1) — pequeno quando N é grande.

Passo 4

Fórmula exata para a variância depois de adicionar x (derivação guiada):
  • Escrevendo a soma dos quadrados centrados original como N\sigma^2=\sum_{i=1}^N (x_i-\mu)^2.
  • Para a nova variância \sigma'^2 vale
(N+1)\sigma'^2 = \sum_{i=1}^N (x_i-\mu')^2 + (x-\mu')^2.
  • Expandindo \sum_{i=1}^N (x_i-\mu')^2 em termos de \mu e usando que \sum (x_i-\mu)=0, obtém-se (passo algébrico)
\sum_{i=1}^N (x_i-\mu')^2 = N\sigma^2 + N(\mu'-\mu)^2.
  • Substituindo \mu'-\mu=\dfrac{d}{N+1} e x-\mu'=\dfrac{dN}{N+1} obtemos
N(\mu'-\mu)^2 + (x-\mu')^2 = \frac{N d^2}{N+1}.
  • Portanto
(N+1)\sigma'^2 = N\sigma^2 + \frac{N d^2}{N+1}.
  • Reorganizando a diferença entre a nova e a antiga variância:
\sigma'^2-\sigma^2=\frac{N d^2 - (N+1)\sigma^2}{(N+1)^2}.
Isto é uma expressão exata e é muito útil para decidir quando a variância aumenta ou diminui.

Passo 5

Condição para aumento ou diminuição da variância:
  • Pela fórmula acima, a variância aumenta ( \sigma'^2>\sigma^2) se, e só se,
N d^2 > (N+1)\sigma^2.
  • Em termos mais intuitivos, isto dá
|d| = |x-\mu| > \sqrt{1+\frac{1}{N}}\;\sigma.
  • Para N grande essa condição fica próxima de |x-\mu|>\sigma. Ou seja: se o novo valor está mais distante da média do que a dispersão típica (o desvio-padrão), ele tende a aumentar a variância; se estiver muito perto da média, pode diminuir ligeiramente a variância.

Passo 6

Aplicando isso qualitativamente a x=750:
  • Se 750 for substancialmente maior do que a média atual \mu (isto é, se d=750-\mu for grande), então d^2 será grande e, por causa do fator N na condição, muito provavelmente valerá N d^2>(N+1)\sigma^2. Logo a variância do conjunto aumentará — possivelmente em muito, se 750 estiver várias vezes o desvio-padrão acima da média.
  • Em linguagem direta: a presença de 750 adiciona um termo (750-\mu)^2 na soma dos quadrados centrados; como esse termo é quadrático, um grande afastamento produz um grande aumento na variância.

Passo 7

Interpretação em termos de desvios-padrão (o tal “quantos σs”):
  • A medida direta de “quantos desvios-padrão a observação 750 está da média atual” é o escore-z (z-score)
z=\frac{750-\mu}{\sigma}.
  • Esse z diz: “ 750 está z desvios-padrão acima da média atual”. Exemplos para dar intuição:
    • Se \mu=300 e \sigma=50 então \displaystyle z=\frac{750-300}{50}=9. Ou seja, nove desvios-padrão acima — claramente extremo e fará a variância explodir para cima.
    • Se \mu=500 e \sigma=100 então \displaystyle z=\frac{750-500}{100}=2{,}5. Ainda é alto (valor atípico moderado), aumentará a variância, mas menos dramaticamente que no primeiro exemplo.
  • Regra prática: z\gtrsim3 costuma ser considerado outlier; valores assim geram grande aumento da variância.

Passo 8

Resumo intuitivo e conselho prático para prova:
  • Regra curta: adicionar um valor muito maior que a média aumenta a variância; quanto maior a diferença em relação à média (em unidades de \sigma), maior o aumento.
  • Para avaliar numericamente “quanto” aumentará a variância sem calcular tudo, calcule z=(750-\mu)/\sigma. Se z for bem maior que 1 (ou 3 para efeito outlier), espere um aumento significativo.
  • Se for pedido justificar no exame, mostre a derivação do passo 4 e explique com o z-score como medida de distância em unidades de desvio-padrão — isso é claro, direto e convincente.

Resposta

A variância do conjunto aumentará (provavelmente bastante) se 750 estiver distante da média atual \mu; matematicamente a variação na variância satisfaz
\sigma'^2-\sigma^2=\frac{N(750-\mu)^2-(N+1)\sigma^2}{(N+1)^2},
logo aumenta quando |750-\mu|>\sqrt{1+\tfrac{1}{N}}\,\sigma.\n
O deslocamento de 750 em unidades de desvio-padrão em relação à média atual é dado pelo escore
z=\frac{750-\mu}{\sigma},
ou seja, z é “quantos desvios-padrão acima da média” esse novo valor está (valores z\gtrsim3 indicam um outlier que elevará muito a variância).

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