Se um novo time fosse convidado para o torneio e apresentasse um histórico de 750 faltas, descreva qualitativamente o que aconteceria com a variância do conjunto e o que esse valor representaria em termos de desvios padrões em relação à média atual.
Passo 1
O que o enunciado dá:
- Um novo time com
faltas será adicionado ao conjunto atual. - Não foram fornecidos números específicos do conjunto atual; existe uma média atual
e uma variância (ou desvio-padrão) atual (respectivamente para o desvio-padrão) sobre observações.
O que é pedido:
- Descrever qualitativamente o que acontece com a variância do conjunto ao adicionar
. - Explicar o que esse valor (750) representa em termos de desvios-padrão em relação à média atual.
Passo 2
Lembrando as definições (passo a passo, sem pular nada):
- A média atual do conjunto com
observações é . - A variância populacional atual é
. - O desvio-padrão é
.
O significado: a variância é a média dos quadrados das distâncias de cada observação à média. Uma observação muito distante da média contribui com um termo
grande, que tende a aumentar a variância do conjunto.
Passo 3
Como a média muda ao adicionar o novo valor
:
- A nova média
com observações é
- É útil definir a diferença
. Então
Isto mostra que a média se desloca na direção de
, mas esse deslocamento é de magnitude
— pequeno quando
é grande.
Passo 4
Fórmula exata para a variância depois de adicionar
(derivação guiada):
- Escrevendo a soma dos quadrados centrados original como
. - Para a nova variância
vale
- Expandindo
em termos de e usando que , obtém-se (passo algébrico)
- Substituindo
e obtemos
- Portanto
- Reorganizando a diferença entre a nova e a antiga variância:
Isto é uma expressão exata e é muito útil para decidir quando a variância aumenta ou diminui.
Passo 5
Condição para aumento ou diminuição da variância:
- Pela fórmula acima, a variância aumenta (
) se, e só se,
- Em termos mais intuitivos, isto dá
- Para
grande essa condição fica próxima de . Ou seja: se o novo valor está mais distante da média do que a dispersão típica (o desvio-padrão), ele tende a aumentar a variância; se estiver muito perto da média, pode diminuir ligeiramente a variância.
Passo 6
Aplicando isso qualitativamente a
:
- Se
for substancialmente maior do que a média atual (isto é, se for grande), então será grande e, por causa do fator na condição, muito provavelmente valerá . Logo a variância do conjunto aumentará — possivelmente em muito, se estiver várias vezes o desvio-padrão acima da média. - Em linguagem direta: a presença de
adiciona um termo na soma dos quadrados centrados; como esse termo é quadrático, um grande afastamento produz um grande aumento na variância.
Passo 7
Interpretação em termos de desvios-padrão (o tal “quantos σs”):
- A medida direta de “quantos desvios-padrão a observação
está da média atual” é o escore-z (z-score)
- Esse
diz: “ está desvios-padrão acima da média atual”. Exemplos para dar intuição: - Se
e então . Ou seja, nove desvios-padrão acima — claramente extremo e fará a variância explodir para cima. - Se
e então . Ainda é alto (valor atípico moderado), aumentará a variância, mas menos dramaticamente que no primeiro exemplo.
- Se
- Regra prática:
costuma ser considerado outlier; valores assim geram grande aumento da variância.
Passo 8
Resumo intuitivo e conselho prático para prova:
- Regra curta: adicionar um valor muito maior que a média aumenta a variância; quanto maior a diferença em relação à média (em unidades de
), maior o aumento. - Para avaliar numericamente “quanto” aumentará a variância sem calcular tudo, calcule
. Se for bem maior que (ou para efeito outlier), espere um aumento significativo. - Se for pedido justificar no exame, mostre a derivação do passo 4 e explique com o
-score como medida de distância em unidades de desvio-padrão — isso é claro, direto e convincente.
Resposta
A variância do conjunto aumentará (provavelmente bastante) se
estiver distante da média atual
; matematicamente a variação na variância satisfaz
logo aumenta quando
.\n
O deslocamento de em unidades de desvio-padrão em relação à média atual é dado pelo escore
O deslocamento de
ou seja,
é “quantos desvios-padrão acima da média” esse novo valor está (valores
indicam um outlier que elevará muito a variância).