Para cada um dos casos abaixo
  • calcule o coeficiente de correlação linear ( r ).
  • Determine a equação da reta de regressão linear (\hat{y}=a x+b).
  • Interprete o tipo de correlação encontrada.
  1. Um pesquisador resolveu testar se a altura de indivíduos \mathrm{em} \mathrm{cm}(x) tem alguma relação com a pontuação obtida em um teste de sorte/azar de 0 a 100(y).
x (Altura) 155 160 165 170 175 180 185 190 195 200
y (Sorte) 50 85 20 95 10 55 30 70 45 15

Passo 1

O enunciado fornece n=10 pares (x,y), onde x é a altura em cm e y é a pontuação no teste:
\begin{array}{cccccccccc} x: & 155 & 160 & 165 & 170 & 175 & 180 & 185 & 190 & 195 & 200 \\\ y: & 50 & 85 & 20 & 95 & 10 & 55 & 30 & 70 & 45 & 15 \end{array}
O que nos pedem:
  • Calcular o coeficiente de correlação linear r.
  • Determinar a reta de regressão linear \hat{y}=a x+b.
  • Interpretar o tipo de correlação encontrada.
Anotações úteis que vou usar (explicadas nos próximos passos):
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i,\qquad \bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i,
S_{xx}=\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2,\qquad S_{yy}=\sum_{i=1}^n (y_i-\bar{y})^2,\qquad S_{xy}=\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}),
relação entre esses e regressão/correlação:
a=\frac{S_{xy}}{S_{xx}},\qquad b=\bar{y}-a\bar{x},
r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}\,S_{yy}}}.

Passo 2

Calcular as médias \bar{x} e \bar{y}. Fórmula e significado: \bar{x} é a média aritmética das alturas (o “centro” das x_i) e \bar{y} é a média das pontuações.
\sum_{i=1}^{10} x_i = 155+160+165+170+175+180+185+190+195+200 = 1775,
\bar{x}=\frac{1775}{10}=177{,}5.
\sum_{i=1}^{10} y_i = 50+85+20+95+10+55+30+70+45+15 = 475,
\bar{y}=\frac{475}{10}=47{,}5.

Passo 3

Calcular S_{xx}, S_{yy} e S_{xy}. Explico o que cada um mede: S_{xx} é a soma dos quadrados das diferenças de x em relação à média (medida da variação de x); S_{yy} é a análoga para y; S_{xy} é a soma dos produtos das diferenças (medida de como x e y variam em conjunto — covariância não normalizada).
Primeiro escrevo os desvios (x_i-\bar{x}) e (y_i-\bar{y}). Observando que os x estão igualmente espaçados, os desvios são simétricos:
x_i-\bar{x} = [-22{,}5,\,-17{,}5,\,-12{,}5,\,-7{,}5,\,-2{,}5,\;2{,}5,\;7{,}5,\;12{,}5,\;17{,}5,\;22{,}5].
y_i-\bar{y} = [2{,}5,\;37{,}5,\,-27{,}5,\;47{,}5,\,-37{,}5,\;7{,}5,\,-17{,}5,\;22{,}5,\,-2{,}5,\,-32{,}5].
Calculo de S_{xx} usando os quadrados (aproveitando simetria):
S_{xx}=\sum (x_i-\bar{x})^2 =2\big(22{,}5^2+17{,}5^2+12{,}5^2+7{,}5^2+2{,}5^2\big).
Cálculo numérico:
22{,}5^2=506{,}25,\;17{,}5^2=306{,}25,\;12{,}5^2=156{,}25,\;7{,}5^2=56{,}25,\;2{,}5^2=6{,}25,
\text{somando: }506{,}25+306{,}25+156{,}25+56{,}25+6{,}25=1031{,}25,
S_{xx}=2\cdot1031{,}25=2062{,}5.
Calculo de S_{yy} somando os quadrados dos desvios de y:
\begin{aligned} S_{yy} &= 2{,}5^2 + 37{,}5^2 + (-27{,}5)^2 + 47{,}5^2 + (-37{,}5)^2 \\\ &\quad + 7{,}5^2 + (-17{,}5)^2 + 22{,}5^2 + (-2{,}5)^2 + (-32{,}5)^2 \\\ &=6{,}25 + 1406{,}25 + 756{,}25 + 2256{,}25 + 1406{,}25 \\\ &\quad + 56{,}25 + 306{,}25 + 506{,}25 + 6{,}25 + 1056{,}25 \\\ &=7762{,}5. \end{aligned}
Calculo de S_{xy} somando os produtos dos desvios:
\begin{aligned} S_{xy} &= \sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) \\\ &= (-22{,}5)(2{,}5)+(-17{,}5)(37{,}5)+(-12{,}5)(-27{,}5)+\cdots+(22{,}5)(-32{,}5). \end{aligned}
Fazendo cada produto e somando (mostrando alguns termos principais já calculados):
S_{xy}=-56{,}25-656{,}25+343{,}75-356{,}25+93{,}75+18{,}75-131{,}25+281{,}25-43{,}75-731{,}25,
S_{xy}=-1237{,}5.
(Resumo numérico obtido passo a passo acima: S_{xx}=2062{,}5, S_{yy}=7762{,}5, S_{xy}=-1237{,}5.)

Passo 4

Determinar os coeficientes da reta de regressão \hat{y}=a x+b.
Fórmula do coeficiente angular (inclinação) a:
a=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}=\frac{-1237{,}5}{2062{,}5}.
Cálculo:
a=-0{,}6.
Interpretação do a: para cada aumento de 1 cm em x, a pontuação prevista \hat{y} diminui em 0{,}6 ponto (porque o sinal é negativo).
Fórmula do intercepto b:
b=\bar{y}-a\bar{x}=47{,}5-(-0{,}6)\cdot177{,}5.
Cálculo:
b=47{,}5+0{,}6\cdot177{,}5=47{,}5+106{,}5=154.
Portanto a reta de regressão é
\hat{y}=-0{,}6\,x+154.

Passo 5

Calcular o coeficiente de correlação linear r. Fórmula e significado: r mede a força e direção da relação linear entre x e y. Vai de -1 (correlação linear negativa perfeita) a +1 (positiva perfeita). Valor próximo de 0 indica fraca correlação linear.
Fórmula:
r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}\,S_{yy}}} =\frac{-1237{,}5}{\sqrt{2062{,}5\cdot 7762{,}5}}.
Cálculo numérico:
2062{,}5\cdot 7762{,}5=16\,010\,156{,}25,\qquad \sqrt{16\,010\,156{,}25}\approx 4001{,}27,
r\approx\frac{-1237{,}5}{4001{,}27}\approx -0{,}309.

Passo 6

Interpretação final (em linguagem simples e motivadora):
  • O coeficiente de correlação é \displaystyle r\approx-0{,}309. O sinal negativo indica que, em média, alturas maiores estão associadas a pontuações menores no conjunto de dados. O módulo |r|\approx0{,}309 indica uma correlação linear fraca a moderada — não é uma relação forte. Em termos práticos: há uma tendência negativa, mas muita dispersão; a altura explica apenas uma pequena parte da variação das pontuações.
  • A reta de regressão \hat{y}=-0{,}6x+154 permite prever a pontuação esperada a partir da altura. Por exemplo, aumentar 1 cm reduz a previsão em 0{,}6 ponto. Mas atenção: correlação/regressão não implica causalidade — não se deve concluir que altura causa sorte/azar. Além disso, o ajuste é fraco, então previsões têm grande incerteza.
Força motivadora: você já tem a reta e o r; na prova, siga sempre a mesma sequência: médias → somas de quadrados e produtos → a,b r. Dá pra fazer à mão como aqui, sem mágica. Vai dar certo!

Resposta

r\approx -0{,}309
\hat{y}=-0{,}6\,x+154
Correlação negativa fraca a moderada (tendência negativa, mas relação linear fraca).

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