Em cada um dos casos abaixo calcule lim x x0 f(x)
f(x)=ln (1+2 x)3 x, x0=0,

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto0ln(1+2x)3x
O conteúdo aqui é cálculo de limite de tipo tfrac00, e vamos usar a Regra de L’Hôpital, que diz que se temos indeterminação tfrac00, podemos derivar numerador e denominador separadamente.

Passo 2

Verificamos o tipo de indeterminação ao substituir x=0:
ln(1+2cdot0)=ln(1)=0 e 3cdot0=0,
logo temos tfrac00.

Passo 3

Aplicando L’Hôpital, derivamos numerador e denominador em relação a x:
numerador' = ddxl[ln(1+2x)r] = 21+2x,
denominador' = ddx[3x] = 3
Então o limite vira
limxto0ln(1+2x)3x = limxto0tfrac21+2x3 = 13limxto021+2x

Passo 4

Como 1+2xto1 quando xto0, temos
limxto021+2x = 21 = 2
Portanto,
limxto0ln(1+2x)3x = 13cdot 2 = 23

Resposta

23

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