Em cada um dos casos abaixo calcule lim x x0 f(x)
f(x)=3^x^2-1x-2, x0=2,

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto 2f(x)com f(x)=3^x^2-1x-2
Aqui vamos usar limites laterais e a propriedade de que, para base fixa maior que 1, se o expoente tende a +infty então 3^expoenteto+infty, e se tende a -infty então 3^expoenteto0.

Passo 2

Reescrevemos o expoente como
x^2-1x-2 =(x-1)(x+1)x-2
Perceba que, ao aproximar x de 2, o numerador tende a (2-1)(2+1)=3 e o denominador tende a 0. O sinal desse denominador muda conforme a aproximação ser pela direita ou pela esquerda.

Passo 3

Analisando limites laterais do expoente:
  • Para xto2^+ temos ,x-2>0, logo
    (x-1)(x+1)x-2to+infty.
    Então
    f(x)=3^(x-1)(x+1)x-2to3^+infty=+infty
  • Para xto2^- temos ,x-2<0, logo
    (x-1)(x+1)x-2to-infty.
    Então
    f(x)=3^(x-1)(x+1)x-2to3^-infty=0

Passo 4

Como o limite pela direita é +infty e o limite pela esquerda é 0, as duas laterais não coincidem. Logo o limite bilateral não existe.

Resposta

O limite limxto23^x^2-1x-2 não existe, pois
limxto2^-f(x)=0neq+infty=limxto2^+f(x).

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