Q 30
Exiba o gráfico de uma função f:[-3,5] R+^* tal que:
(1) lim x -3^+ f(x)=2
(3) f descontínua em x=3
(5) nexists lim x 1 f(x)
(2) lim x 5^- f(x)=4
(4) lim x -1 f(x)=+infty
(6) f(-2)=1

Passo 1

O enunciado pede para desenharmos um exemplo de função
f:[-3,5]toR+^*
que satisfaça os seguintes requisitos:
(1) limxto-3^+f(x)=2
(4) limxto-1f(x)=+infty
(5) nexistslimxto1f(x)
(3) f descontínua em x=3
(2) limxto5^-f(x)=4
(6) f(-2)=1
O conteúdo envolve limites laterais, assíntota vertical, descontinuidade removível e salto, e valor pontual. Vamos construir um exemplo por partes que cumpra tudo.

Passo 2

Para obter a assíntota vertical em x=-1 e também fazer
limxto-3^+f(x)=2 e
limxto1^-f(x)=2, definimos, para
-3<x<1 (exceto onde sobrescrevemos o ponto -2),
f(x)=3(x+1)^2+tfrac54
De fato, quando xto-1, o denominador (x+1)^2to0 e f(x)to+infty.
Quando xto-3^+,
3(-3+1)^2+tfrac54=34+54=2.
Quando xto1^-,
3(1+1)^2+tfrac54=34+54=2.

Passo 3

Para garantir o valor pontual em -2, definimos
f(-2)=1
Esse ponto fica abaixo da curva contínua acima, mas está isolado (discontinuidade removível) e atende ao requisito (6).

Passo 4

Entre -1 e 1 já estamos usando a mesma fórmula 3(x+1)^2+tfrac54, de modo que a assíntota em x=-1 vale nos dois lados. Ao aproximar de 1 pela esquerda obtemos 2, mas ainda precisamos de um valor diferente pela direita de 1 para que não exista limite em x=1.

Passo 5

Para 1<x<3 escolhemos
f(x)=3
Assim,
limxto1^-f(x)=2 e limxto1^+f(x)=3, logo não existe limxto1f(x), atendendo (5).

Passo 6

Em x=3 definimos um valor isolado, por exemplo
f(3)=1,
enquanto ao redor de 3 (para x<3 usamos valor 3 e para x>3 definiremos outro), gerando descontinuidade por salto em x=3 (requisito (3)).

Passo 7

Para 3<x<5 definimos
f(x)=4,
o que garante
limxto5^-f(x)=4. Finalmente, como 5 pertence ao domínio, podemos fixar
f(5)=4

Resposta

Um exemplo de definição por partes cuja curva satisfaz todos os itens é
f(x)= 2, & x=-3, dfrac3(x+1)^2+tfrac54, & -3< x<1,;xneq -2, 1, & x=-2, 3, & 1<x<3, 1, & x=3, 4, & 3<x<5, 4, & x=5
O gráfico correspondente mostra:
  • Em -3 ponto em ( -3,2 ).
  • Para -3<x<1 ramo com assíntota vertical em x=-1 e descendo até (1,2), retirando o ponto (-2,1).
  • Ramo constante 3 em (1,3).
  • Em x=3 ponto isolado (3,1).
  • Ramo constante 4 até x=5, terminando em (5,4).

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