Q 30
Exiba o gráfico de uma função
tal que:
(1)
(3)
descontínua em
(5)
(2)
(4)
(6)
Exiba o gráfico de uma função
(1)
(3)
(5)
(2)
(4)
(6)
Passo 1
O enunciado pede para desenharmos um exemplo de função
que satisfaça os seguintes requisitos:
(1)
(4)
(5)
(3) descontínua em
(2)
(6)
O conteúdo envolve limites laterais, assíntota vertical, descontinuidade removível e salto, e valor pontual. Vamos construir um exemplo por partes que cumpra tudo.
que satisfaça os seguintes requisitos:
(1)
(4)
(5)
(3)
(2)
(6)
O conteúdo envolve limites laterais, assíntota vertical, descontinuidade removível e salto, e valor pontual. Vamos construir um exemplo por partes que cumpra tudo.
Passo 2
Para obter a assíntota vertical em
e também fazer
e
, definimos, para
(exceto onde sobrescrevemos o ponto
),
De fato, quando
, o denominador
e
.
Quando ,
.
Quando ,
.
Quando
Quando
Passo 3
Para garantir o valor pontual em
, definimos
Esse ponto fica abaixo da curva contínua acima, mas está isolado (discontinuidade removível) e atende ao requisito (6).
Passo 4
Entre
e
já estamos usando a mesma fórmula
, de modo que a assíntota em
vale nos dois lados. Ao aproximar de
pela esquerda obtemos
, mas ainda precisamos de um valor diferente pela direita de
para que não exista limite em
.
Passo 5
Para
escolhemos
Assim,
e
, logo não existe
, atendendo (5).
Passo 6
Em
definimos um valor isolado, por exemplo
enquanto ao redor de
(para
usamos valor
e para
definiremos outro), gerando descontinuidade por salto em
(requisito (3)).
Passo 7
Para
definimos
o que garante
. Finalmente, como
pertence ao domínio, podemos fixar
Resposta
Um exemplo de definição por partes cuja curva satisfaz todos os itens é
O gráfico correspondente mostra:
- Em
ponto em-3 .( -3,2 ) - Para
ramo com assíntota vertical em-3<x<1 e descendo atéx=-1 , retirando o ponto(1,2) .(-2,1) - Ramo constante
em3 .(1,3) - Em
ponto isoladox=3 .(3,1) - Ramo constante
até4 , terminando emx=5 .(5,4)