Em cada um dos casos abaixo calcule lim h 0 f(x+h)-f(x)h
f(x)=sin (x),

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=sin(x) a partir do limite
limhto 0f(x+h)-f(x)h
O conteúdo é a definição de derivada e vamos precisar da fórmula de adição de ângulos para a função seno.

Passo 2

Aplicamos a fórmula de adição de ângulos em f(x+h)=sin(x+h):
sin(x+h)=sin(x)cos(h)+cos(x)sin(h)
Então o numerador fica
f(x+h)-f(x)=l[sin(x)cos(h)+cos(x)sin(h)r]-sin(x)

Passo 3

Reescrevendo o numerador de forma agrupada:
f(x+h)-f(x) =sin(x)l(cos(h)-1r)+cos(x),sin(h)
Logo a fração do limite é
f(x+h)-f(x)h =sin(x),cos(h)-1h+cos(x),sin(h)h

Passo 4

Agora usamos os limites conhecidos quando hto0:
limhto0cos(h)-1h=0, limhto0sin(h)h=1
Substituindo na expressão:

Passo 5

limhto0f(x+h)-f(x)h =sin(x)cdot0+cos(x)cdot1 =cos(x)

Resposta

A derivada de sin(x) é cos(x), ou seja,
limhto0sin(x+h)-sin(x)h=cos(x)

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